Isométries en dimension 2

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Matrices orthogonales de taille 2

Proposition (matrices orthogonales d'ordre 2)
Les matrices orthogonales positives d’ordre {2} sont : {R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\cr\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\text{\ avec\ }\theta\in\mathbb{R}}Les matrices orthogonales négatives d’ordre {2} sont: {S(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\cr\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}\text{\ avec\ }\theta\in\mathbb{R}}

Propriétés des matrices orthogonales positives d’ordre {2}

Pour tous réels {\theta} et {\varphi}, on a : {R(\theta)R(\varphi)=R(\varphi)R(\theta)=R(\theta+\varphi)}Il en découle que le groupe {SO(2)} est commutatif (c’est faux pour {SO(n)} si {n\ge3}).

On a {R(0)=I_2} et, pour tout {\theta} : {R(\theta)^{-1}=R(-\theta)}.

Pour tous réels {\theta} et {\varphi}, on a : {R(\theta)=R(\varphi)\Leftrightarrow\theta\equiv\varphi~[2\pi]}

Propriétés des matrices orthogonales négatives d’ordre {2}

Pour tous réels {\theta,\varphi}, on a : {S(\theta)S(\varphi)=R(\theta-\varphi)}.

Pour tout réel {\theta}, on a {S(\theta)^{-1}={S(\theta)}^{\top}=S(\theta)}.

Toutes les matrices orthogonales négatives d’ordre {2} sont donc des matrices de symétrie.

Les automorphismes orthogonaux négatifs d’un plan sont des symétries orthogonales (à suivre…).

Angle de rotations et de vecteurs du plan

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