- Produit scalaire, norme et distance
- Orthogonalité
- Produit mixte, produit vectoriel
- Projections orthogonales
- Hyperplans affines d'un espace euclidien
- Isométries vectorielles
- Matrices orthogonales
- Isométries en dimension 2
Vecteur normal à un hyperplan d’un espace euclidien
Définition (vecteur normal à un hyperplan affine)
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}, de direction un hyperplan vectoriel {H}.
On appelle vecteur normal à {\mathcal{H}} tout vecteur non nul de la droite vectorielle {D=H^{\bot}}.
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}, de direction un hyperplan vectoriel {H}.
On appelle vecteur normal à {\mathcal{H}} tout vecteur non nul de la droite vectorielle {D=H^{\bot}}.
Proposition (caractérisation d'un hyperplan par un point et un vecteur normal)
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}. Soit {\overrightarrow{n}} un vecteur normal à {\mathcal{H}}.
Soit {A} un point de {\mathcal{H}}. Alors on a l’équivalence : {M\in\mathcal{H}\Leftrightarrow \left({\overrightarrow{A M}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)=0}.
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine d’un espace euclidien {E}. Soit {\overrightarrow{n}} un vecteur normal à {\mathcal{H}}.
Soit {A} un point de {\mathcal{H}}. Alors on a l’équivalence : {M\in\mathcal{H}\Leftrightarrow \left({\overrightarrow{A M}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)=0}.
Un hyperplan affine {\mathcal{H}} est donc déterminé par la donnée d’un point {\Omega} et d’un vecteur normal {\overrightarrow{n}}.
Proposition
Soit {\overrightarrow{n}} un vecteur non nul d’un espace euclidien {E}. Soit {A} un point quelconque de {E}.
Soit {f} définie sur {E} par {f(M)=\left({\overrightarrow{AM}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)}.
On appelle lignes de niveau de {f} les ensembles {\mathcal{H}_{\lambda}=\{M\in E,\;f(M)=\lambda\}}Les lignes de niveau de {f} sont les hyperplans affines de vecteur normal {\overrightarrow{n}}.
En particulier {\mathcal{H}_{0}} est l’hyperplan de vecteur normal {\overrightarrow{n}} et qui passe par {A}.
Soit {\overrightarrow{n}} un vecteur non nul d’un espace euclidien {E}. Soit {A} un point quelconque de {E}.
Soit {f} définie sur {E} par {f(M)=\left({\overrightarrow{AM}}\mid{\overrightarrow{n}}\right)}.
On appelle lignes de niveau de {f} les ensembles {\mathcal{H}_{\lambda}=\{M\in E,\;f(M)=\lambda\}}Les lignes de niveau de {f} sont les hyperplans affines de vecteur normal {\overrightarrow{n}}.
En particulier {\mathcal{H}_{0}} est l’hyperplan de vecteur normal {\overrightarrow{n}} et qui passe par {A}.
Équations d’un hyperplan dans une base orthonormale
Proposition (normale et équations d'un hyperplan affine)
Soit {E} un espace euclidien muni d’une base orthonormée {e}.
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine de {E}, de direction {H}, et soit {\overrightarrow{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\alpha_ke_k} un vecteur non nul de {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
Soit {E} un espace euclidien muni d’une base orthonormée {e}.
Soit {\mathcal{H}} un hyperplan affine de {E}, de direction {H}, et soit {\overrightarrow{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^n\alpha_ke_k} un vecteur non nul de {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
- le vecteur {\overrightarrow{n}} est normal à l’hyperplan vectoriel {H} (à l’hyperplan affine {\mathcal{H}}).
- une équation de {H} est {\left(a\mid u\right)=0}, c’est-à-dire {\displaystyle\sum_{k=1}^na_kx_k=0}.
- une équation de {\mathcal{H}} est {\left(a\mid u\right)=\lambda}, avec {\lambda} réel, c’est-à-dire {\displaystyle\sum_{k=1}^na_kx_k=\lambda}.
Exemples dans {\mathbb{R}^{2}}
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