Espaces vectoriels normés (4/4)

Soit {f} une application définie sur une partie {\mathcal{D}} de {E}, à valeurs dans {F}. Soit {a\in\mathcal{D}}.
On dit que {f} est continue en {a} si la limite de {f} en {a} existe (donc vaut {f(a)}) c’est-à-dire si : {\begin{array}{l}\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\, \delta>0,\\[6pt]\quad\forall\, x\in \mathcal{D}\cap\overline{B}(a,\delta),\; f(x)\in\overline{B}(f(a),\varepsilon)\bigr)\end{array}}

Cela ne dépend pas des normes sur {E} ou {F} (car {\dim(E)\lt \infty} et {\dim(F)\lt \infty}).

L’application {f :\mathcal{D}\subset E\to F} est continue au point {a} de {\mathcal{D}} si et seulement si, pour toute suite {x=(x_{n})_{n\ge0}} de {\mathcal{D}} convergeant vers {a}, la suite {(f(x_{n}))_{n\ge0}} converge vers {f(a)}.

Soit {f} une application définie sur une partie {\mathcal{D}} de {E}, à valeurs dans {F}.
Soit {\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},\ldots,e_{p})} une base de {F}.
Posons, pour tout {x} de {E} : {f(x)=\sum\limits_{i=1}^{p}f_{i}(x)\,e_{i}}.
Alors {f} est continue en {a\in\mathcal{D}} si et seulement si les {f_{i}} sont continues en {a}.