Ensembles et sous-ensembles

Exercices corrigés


Exercice 1.
Que dire de deux ensembles {A,B} tels que {A\cup B=A\cap B}?
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Exercice 2.
Soient {A,B,C} trois ensembles.
Montrer que {A\cup B=A\cap C\Leftrightarrow B\subset A\subset C}.
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Exercice 3.
Soient {A}, {B}, {C} trois ensembles. Montrer que {\begin{cases}A\cup B\subset A\cup C&\cr A\cap B\subset A\cap C\end{cases}\!\!\!\Rightarrow B\subset C}
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Exercice 4.
Soient {A,B,C} trois ensembles. Montrer que {\begin{array}{l}(A\cup B)\cap(B\cup C)\cap(C\cup A)\\\\\quad=(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A)\end{array}}
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Exercice 5.
Soient {E,F} deux ensembles. Quelle relation y-a-t-il :

  1. Entre {{\mathcal P}(E\cup F)} et {{\mathcal P}(E)\cup{\mathcal P}(F)} ?
  2. Entre {{\mathcal P}(E\cap F)} et {{\mathcal P}(E)\cap{\mathcal P}(F)} ?
  3. Entre {{\mathcal P}(E\times F)} et {{\mathcal P}(E)\times{\mathcal P}(F)} ?

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Exercice 6.
Soient {(A_i)_{i\in I}} et {(B_i)_{i\in I}} deux familles de parties d’un ensemble {E}.

On suppose que pour tout indice {i} de {I}, on a {E=A_i\cup B_i}.

Montrer que {\displaystyle E=\Bigl(\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i\Bigr)\;\bigcup\;\Bigl(\bigcap_{i\in I}B_i\Bigr)}.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.