X Mp/Mpi Orthogonalité

Planches X, filière Mp/Mpi
Espaces préhilbertiens, espaces euclidiens

Maximiser le déterminant de

{M\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}

soumise à des contraintes quadratiques.

Soit

{A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}

{B\in\mathcal A_n(\mathbb R)}

. Est-ce que

{AB}

est diagonalisable?

Donner les formes linéaires sur

{\mathcal M_{2n+1}(\mathbb R)}

invariantes par conjugaison orthogonale.

Construire une formule de quadrature à poids positifs, exacte jusqu’au degré

{2n\!-\!1}

Comment contrôler

{|P(0)|}

par une norme intégrale de

{P}

Borner le carré d’un déterminant par le produit des normes carrées de ses colonnes.

Que deviennent les puissances du produit de deux projections orthogonales ?

Construire un simplexe régulier centré et étudier les permutations de ses sommets.

Étudier les conditions sur une partie du plan. Montrer que c’est une ellipse centrée en O.

Quelles matrices sont des comatrices ?

Résoudre

{A=\operatorname{Com}(A)}

sur

{\mathbb C}

Étudier la taille d’une famille de parties distinctes aux intersections 2 à 2 de même cardinal non nul