(Oral X Mp/Mpi)
Soient {n\in\mathbb N^{\star}}, le produit scalaire canonique {\langle\cdot,\cdot\rangle} sur {\mathbb R^n} et sa norme {\|\cdot\|}. On considère une application {N:\mathbb R^n\to\mathbb R^+} telle que : {\begin{array}{l}\forall v\in\mathbb R^n,\ \forall\lambda\in\mathbb R,\quad N(\lambda v)=|\lambda|N(v),\\[4pt]\displaystyle c=\inf_{\|v\|=1}N(v)>0.\end{array}}On note {Q_N} l’ensemble des matrices {M\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} telles que {\langle x,Mx\rangle\leqslant N(x)^2} pour tout {x\in\mathbb R^n}.
| Question a) Montrer que {Q_N} n’est pas vide. |
| Question b) Montrer que le déterminant atteint son maximum sur {Q_N}, en un unique point. |