Géométrie affine 2

Exercices corrigés sur le thème « Géométrie affine », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, Ensam, etc.)

Le théorème de Desargues

Soient

{ABC}

{A'B'C'}

deux triangles du plan, sans sommets communs.
On suppose que

{(AB)\parallel(A'B')}

{(BC)\parallel(B'C')}

.
Montrer que

{(AC)\parallel(A'C')\Leftrightarrow (AA'),(BB'),(CC')}

sont parallèles ou concourantes.

On se donne deux droites distinctes

{\mathcal{D}}

{\mathcal{D}'}

du plan.
Soient

{A,B,C}

trois points distincts de

{\mathcal{D}}

. Soient

{A',B',C'}

trois points distincts de

{\mathcal{D}'}

.
Montrer que si

{\begin{cases}(AB')\parallel(BA')\\ (BC')\parallel(CB')\end{cases}}

alors

{(CA')\parallel(AC')}

Soient trois droites

{\mathcal{D}_A,\mathcal{D}_B,\mathcal{D}_C}

passant respectivement par

{A,B,C}

non alignés, et recoupant respectivement

{(BC),(CA),(AB)}

{A',B',C'}

.
Montrer l’équivalence :

{\begin{array}{l}\Bigl(\mathcal{D}_A,\mathcal{D}_B,\mathcal{D}_C\text{\ parallèles ou concourantes\ }\Bigr)\\[12pts]\Leftrightarrow\dfrac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\cdot\dfrac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\cdot\dfrac{\overline{C' A}}{\overline{C' B}}=-1\end{array}}

Soient

{A,B,C}

trois points non alignés, et

{A',B',C'}

sur

{(BC),(AC),(AB)}

, distincts de

{A,B,C}

.
Montrer que :

{A',B',C'}

sont alignés si et seulement si :

{\dfrac{\overline{A' B}}{\overline{A' C}}\cdot\dfrac{\overline{B' C}}{\overline{B' A}}\cdot\dfrac{\overline{C' A}}{\overline{C' B}}=1}

On se donne deux droites distinctes

{\mathcal{D}}

{\mathcal{D}'}

du plan.
Soient

{A,B,C,A',B',C'}

six points distincts :

{A,B,C}

sur

{\mathcal{D}}

{A',B',C'}

sur

{\mathcal{D}'}

.
On suppose que

{(AA')\parallel(BB')}

.
Montrer que :

{(AA')\parallel(CC')\Leftrightarrow\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}}

(Théorème de Thalès)