Ens Mp/Mpi Intégrabilité

Planches Ens, filière Mp/Mpi
Intégration sur un intervalle quelconque

Caractériser la convergence vers la loi normale par

{\mathbb E(X_nf(X_n)-f'(X_n))\to0}

Comparer les bornes

{\mathbb P(X>t)\leqslant e^{-at^2}}

{\mathbb E(e^{uX})\leqslant e^{cu^2}}

. Utiliser Markov et Taylor.

La somme

{S_N=X_1\!+\!\cdots\!+\!X_N}

est-elle intégrable si les

{X_j}

{N}

le sont ?

Orthogonalité des solutions polynomiales de

{-y''\!+\!xy'\!=\!\lambda y}

et application à une edp.

Une fonction continue intégrable

{f}

est-elle déterminée par

{F(z)\!=\!\int_{\mathbb{R}}f(t)/(t\!-\!z)\,\mathrm{d}t}

Sev propres d’un opérateur intégral et d’un opérateur différentiel qui commutent.

Une intégrale oscillante à phase cubique définit-elle une fonction deux fois dérivable ?

Une intégrale auxiliaire à paramètre permet de calculer l’intégrale de Fresnel

{\int_0^{+\infty}\!\!e^{it^2}\mathrm{d}t}

Calculer

{\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm{d}u}

grâce à une intégrale auxiliaire dépendant d’un paramètre.

Étudier une intégrale généralisée construite à partir de

{u(x\!+\!y)\!+\!u(x\!-\!y)\!-\!2u(x)}

Une perturbation de la phase

{nt}

modifie-t-elle la limite d’une intégrale oscillante ?

Montrer la croissance

{p\mapsto I_f(p)=\left(p\int_0^{+\infty}t^{p-1}f(t)\,\mathrm{d}t\right)^{1/p}}

Construire une suite telle que

{\sum a_n^\alpha}

converge exactement pour

{\alpha\geqslant1}