(Oral Ens Mp/Mpi)
On considère l’équation différentielle : {(E_\lambda)\qquad-y''+xy'=\lambda y.}
| Question a) Déterminer les réels {\lambda} pour lesquels {(E_\lambda)} admet une solution polynomiale non nulle. |
| Question b) On considère le produit scalaire : {\langle P,Q\rangle=\int_{\mathbb{R}}P(t)Q(t)e^{-t^2}\mathrm{d}t.}Montrer qu’il existe une base orthonormée {(H_n)_{n\in\mathbb{N}}} de {\mathbb{R}[X]} telle que {H_n} soit solution de {(E_n)}. |
| Question c) Soit {u_0\in\mathbb{R}[X]}. Montrer qu’il existe {u:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}} de classe {\mathcal{C}^2} telle que : {\begin{array}{l}u(x,0)=u_0(x),\\[8pt]\dfrac{\partial u}{\partial t}(x,t)-\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t)+x\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,t)=0.\end{array}} |