- Cardinal d'un ensemble fini
- Calculs de quelques cardinaux usuels
- p-listes et combinaisons
- Ensembles dénombrables
Proposition (produit cartésien de deux ensembles finis)
Soit {A,B} deux ensembles finis.
Alors {A\times B} est un ensemble fini et {\text{card}(A\times B)=\text{card}(A)\,\text{card}(B)}.
Soit {A,B} deux ensembles finis.
Alors {A\times B} est un ensemble fini et {\text{card}(A\times B)=\text{card}(A)\,\text{card}(B)}.
Plus généralement, si {A_1,A_2,\ldots,A_n} sont finis, alors :{\text{card}\big(\displaystyle\prod_{k=1}^nA_k\big)=\displaystyle\prod_{k=1}^n\text{card}(A_k)}Si {A} est fini, {\text{card}(A^n)=\text{card}(A)^n} pour tout {n\ge1}.
Proposition (union de deux ensembles finis)
Si {A,B} sont finis disjoints, alors {A\cup B} est fini et :{\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)}Dans le cas général : {\text{card}(A\!\cup\! B)\!=\!\text{card}(A)\!+\!\text{card}(B)\!-\!\text{card}(A\!\cap\! B)}
Si {A,B} sont finis disjoints, alors {A\cup B} est fini et :{\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)}Dans le cas général : {\text{card}(A\!\cup\! B)\!=\!\text{card}(A)\!+\!\text{card}(B)\!-\!\text{card}(A\!\cap\! B)}
Proposition (union d'ensembles finis)
Soit {A_1,\ldots,A_n} des ensembles finis.
Alors {\text{card}(\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k)\le \displaystyle\sum_{k=1}^n\text{card}(A_k)}.
Il y a égalité {\Leftrightarrow} les {A_{k}} sont disjoints deux à deux.
Soit {A_1,\ldots,A_n} des ensembles finis.
Alors {\text{card}(\bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k)\le \displaystyle\sum_{k=1}^n\text{card}(A_k)}.
Il y a égalité {\Leftrightarrow} les {A_{k}} sont disjoints deux à deux.
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