Calculs asymptotiques (4/5)

Pour simplifier, les résultats sont énoncés pour des développements limités à l’origine (et les fonctions considérées seront supposées définies sur un intervalle {I} contenant {0} ou adhérent à {0}), mais on peut facilement les adapter à des développements en un autre point.

Pour chaque méthode, on donne un exemple d’utilisation (qui utilise éventuellement certains des développements qui seront présentés un peu plus loin).

On suppose {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kx^k+\text{o}(x^n)} et {g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^nb_kx^k+\text{o}(x^n)}.
Pour tous scalaires {\alpha,\beta}, on a : {(\alpha f+\beta g)(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n(\alpha a_k+\beta b_k)x^k+\text{o}(x^n)}.

• Exemple 1 :{\begin{array}{l}\sin\Bigl(x+\dfrac\pi4\Bigr)=\dfrac{\sqrt2}{2}\,(\sin(x)+\cos(x))\\\\\qquad=\dfrac {\sqrt2}{2}\,\Bigl(1+x-\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\text{o}(x^4)\Bigr)\end{array}}
• Exemple 2 :
  {\begin{array}{l}\dfrac12\,\ln\Bigl(\dfrac{1+x}{1-x}\Bigr)=\dfrac12\,\bigl(\ln(1+x)-\ln(1-x)\bigr)\\\\\qquad=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}+\text{o}(x^{2n+2})\end{array}}
• Exemple 3 :
  On sait que {\text{e}^x=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}\dfrac{x^k}{k!}+\text{o}(x^{2n})\;} donc {\;\text{e}^{-x}=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^{k}\dfrac{x^k}{k!}+\text{o}(x^{2n})}.

  On en déduit : {\begin{cases}\text{ch}(x)=\dfrac{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}{2}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+\text{o}(x^{2n})\\\\\text{sh}(x)=\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\text{o}(x^{2n})\end{cases}}