Calculs asymptotiques (3/5)

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, et soit {x_0} un élément ou un extrémité de {I}. Soit {n\in\mathbb{N}}.
On dit que {f} admet un développement limité (en abrégé un DL) à l’ordre {n} en {x_0} s’il existe des réels {a_0,a_1,\ldots,a_n} et une fonction {x\mapsto \varepsilon(x)} tels que, pour tout {x} de {I} : {\begin{array}{l}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+(x-x_0)^n\varepsilon(x)\\[9pts]\text{\ avec\ }\displaystyle\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\end{array}}

Avec les notations de Landau, on écrira plutôt {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.

Il arrive qu’on utilise les notations {\text{O}} » de Landau dans un développement limité.
Par exemple, si {f(x)=1+2x^2+x^3-x^4+\text{o}(x^4)}, alors {f(x)=1+2x^2+x^3+\text{O}(x^4)}.
Cette dernière écriture contient un peu plus d’informations que {f(x)=1+2x^2+x^3+\text{o}(x^3)}.

Supposons que {f} admette un DL d’ordre {n} en {x_0}. Soit {p} un entier naturel, avec {p\le n}.
Alors {f} admet un DL d’ordre {p} en {x_0}, obtenu par troncature. Plus précisément : {\begin{array}{l}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)\\[9pts]\Rightarrow f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^pa_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^p)\end{array}}Par exemple, si {f(x)=1-x+2x^3+x^4+\text{o}(x^4)}, alors {f(x)=1-x+2x^3+\text{o}(x^3)}.

Soit {f} admettant un DL d’ordre {n} en {x_0} : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)}.
Alors les coefficients {a_0,a_1,\ldots,a_n} sont définis de façon unique.
Le polynôme {P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k} est appelé partie régulière du développement limité.

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction, et soit {x_0} un réel élément ou extrémité de {I}.

Considérons la fonction {g} définie (au voisinage de {h=0}) par {g(h)=f(x_{0}+h)}.
Alors {f} possède un DL d’ordre {n} en {x_0} si et seulement si {g} possède un DL d’ordre {n} en {0}.

Plus précisément, on a l’équivalence (pour {f} le DL est en {x=x_{0}}, et pour {g} il est en {h=0}) : {\begin{array}{l}f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x-x_0)^k+\text{o}((x-x_0)^n)\\[9pts]\quad\Leftrightarrow g(h)=f(x_{0}+h)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kh^k+\text{o}(h^n)\end{array}}

Soit {f} une fonction à valeurs réelles, admettant un DL d’ordre {n} en {x_{0}} : {\begin{array}{l}f(x)&=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}\\[9pts]&\quad+\cdots+a_{n}(x-x_{0})^{n}+\text{o}((x-x_{0})^{n})\end{array}}On sait que ce développement peut aussi s’écrire (en posant {x=x_{0}+h}) : {f(x_{0}+h)=a_{0}+a_{1}h+a_{2}h^{2}+\cdots+a_{n}h^{n}+\text{o}(h^{n})}

Sous cette forme, on note {p} le plus petit indice tel que {a_{p}} soit non nul.

On obtient : {f(x_{0}\!+\!h)\!=\!h^{p}(a_{p}\!+\!a_{p+1}h\!+\!\cdots\!+\!a_{n}h^{n-p}\!+\!\text{o}(h^{n-p}))}Cette écriture est appelée forme normalisée du développement limité de {f} en {x_{0}}.

Avec cette écriture ({a_{p}} étant non nul), on trouve {f(x_{0}+h)\stackrel{h\to0}{\sim}a_{p}h^{p}}.

Cet équivalent donne le signe de {f} au voisinage de {x=x_{0}} :

• Si {p} est pair, alors {f(x)} garde le signe de {a_{p}} au voisinage de {x_{0}}.
• Si {p} est impair, alors {f(x)} change de signe en {x_{0}}.
  Plus précisément, {f(x)} est du signe contraire de {a_{p}} si {x\lt x_{0}}, puis du signe de {a_{p}} si {x>x_{0}}.

Soit {f} une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport à {0}.
On suppose que {f} admet un développement limité d’ordre {n} à l’origine : {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kx^k+\text{o}(x^n)}.
Le changement de {x} en {-x} donne alors le DL : {f(-x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^{k}a_kx^k+\text{o}(x^n)}.

• Si {f} est paire, la partie régulière de son DL en {0} est un polynôme pair.
  Autrement dit les coefficients d’indice impair {a_{2k+1}} sont nuls.
  Le développement limité de {f} se réduit donc à : {f(x)=a_0+a_2x^2+\cdots+a_{2k}x^{2k}+\cdots}
• Si {f} est impaire, la partie régulière de son DL en {0} est un polynôme impair.
  Autrement dit les coefficients d’indice pair {a_{2k}} sont nuls.
  Le développement limité de {f} se réduit donc à : {f(x)=a_1x+a_3x^3+\cdots+a_{2k+1}x^{2k+1}+\cdots}

Si on forme le DL d’une fonction dont on sait qu’elle paire ou impaire, il pourra être utile d’utiliser la notation « {\text{O}} » pour améliorer à peu de frais la précision du développement.

• Supposons par exemple que {f} soit paire. Le développement {f(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+\text{O}(x^6)} est plus précis que {f(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+\text{o}(x^5)}, lui-même plus précis que {f(x)=a_0+a_2x^2+a_4x^4+\text{o}(x^4)}.
• De même, si {f} est impaire, le développement {f(x)=a_1x\!+\!a_3x^3\!+\!a_5x^5\!+\!\text{O}(x^7)} est plus précis que {f(x)=a_1x\!+\!a_3x^3\!+\!a_5x^5\!+\!\text{o}(x^6)}, lui-même plus précis que {f(x)=a_1x\!+\!a_3x^3\!+\!a_5x^5\!+\!\text{o}(x^5)}