Limites et continuité (5/5)

Soit {f} une fonction complexe {f:I\to\mathbb{C}}, définie sur l’ intervalle {I}.

On sait que {f} est caractérisée par {g:I\to\mathbb{R}} et {h:I\to\mathbb{R}} telles : {\forall\, x\in I,\;f(x)=g(x)+ih(x)}.
Ces deux fonctions réelles sont notées {g=\text{Re}(f)} et {h=\text{Im}(f)}.

Voici les trois définitions qu’on peut donner pour exprimer qu’une fonction à valeurs complexes possède une limite en un point {a} (avec {a} réel), ou en {\pm\infty}.

Ces définitions sont calquées sur celles qui ont été données pour des fonctions à valeurs réelles. La seule différence est que la distance {\left|{f(x)-\ell}\right|} est mesurée dans {\mathbb{C}}, avec un module et non plus une valeur absolue.

Les définitions portant sur les fonctions réelles ne sont cependant pas toutes transposables aux fonctions complexes.
Par exemple, si {f:I\to\mathbb{C}}, cela n’a aucun sens d’écrire que {f} tend vers {+\infty} ou {-\infty}.
De même, on ne peut plus parler de limite « par valeurs supérieures » (ou inférieures).
En revanche, on peut encore parler de la limite à gauche et de la limite à droite en {a}.

Soit {I} un intervalle, et soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes.
Soit {a} un réel, élément ou extrémité de {I}. Soit {\ell} un nombre complexe.
On dit que {\ell} est limite de {f} en {a} si : {\begin{array}{l}\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\\[9pts]\quad(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon\end{array}}

Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction complexe, où {I} est un intervalle non majoré.
Soit {\ell} un nombre complexe. On dit que {\ell} est limite de {f} en {+\infty} si : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\ge A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)}

Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction complexe, où {I} est un intervalle non minoré.
Soit {\ell} un nombre complexe. On dit que {\ell} est limite de {f} en {-\infty} si : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\le A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)}

Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction complexe. Soit {g=\text{Re}(f)} et {h=\text{Im}(f)}.
Soit {a} un réel, élément ou extrémité de {I}.
Soit {\ell=u+iv} un nombre complexe, avec {u,v} dans {\mathbb{R}}.
Alors on a l’équivalence : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\Leftrightarrow\big(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=u\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=v\big)}

Dans ce cas, on peut donc écrire : {\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)+i\,\lim_{x\to a}h(x)}.

Le résultat précédent s’étend immédiatement à {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell} et {\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell}, avec {\ell} dans {\mathbb{C}}.

Un certain nombre de résultats concernant les limites de fonctions à valeurs réelles s’étendent sans difficulté au cas des fonctions à valeurs complexes. Citons entre autres :

• L’unicité de la limite
• Le fait que si {f} est définie en {a}, sa seule limite possible en {a} est {f(a)}
• La caractérisation séquentielle des limites
• Les opérations sur les limites (combinaisons linéaires, produits, compositions)

En revanche, on ne peut pas généraliser aux fonctions complexes les propriétés des limites réelles quand elles ont un rapport avec les inégalités et la monotonie.