P. ℝ est archimédien
Soit {x} un réel, et {a} un réel strictement positif.
Alors il existe un entier {n} tel que {na>x}.
On exprime cette propriété en disant que {\mathbb{R}} est archimédien.
P. Quotient entier par a > 0
Soit {x} un réel, et {a} un réel strictement positif.
Alors il existe un couple unique {(n,y)} de {\mathbb{Z}\times[0,a[} tel que {x=na+y}.
D. Partie entière
Il suffit d’appliquer le résultat précédent avec {a=1} pour obtenir la notion de partie entière.
Soit {x} un réel. Il existe un entier relatif unique {m} tel que {m\le x\lt m+1}.
On l’appelle partie entière de {x} et on le note {\lfloor x\rfloor}.
R. Propriétés de la partie entière
-
Pour tout réel {x}, on a : {\lfloor x\rfloor\le x\lt \lfloor x\rfloor+1}, ou encore : {x-1\lt \lfloor x\rfloor\le x}
-
Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, et tout {m} de {\mathbb{Z}}, on a : {\lfloor x\rfloor=m\Leftrightarrow x\in[m,m+1[}
-
Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, on a : {\lfloor x\rfloor=x\Leftrightarrow x\in\mathbb{Z}}
-
Si {x} est réel non entier, alors : {\lfloor-x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1}
-
Pour tout {x} de {\mathbb{R}}, et tout {m} de {\mathbb{Z}}, on a : {\lfloor x+m\rfloor=\lfloor x\rfloor+m}
-
Pour tous réels {x} et {y} : {\lfloor x+y\rfloor\in\{\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor,\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1\}}