Fonctions vectorielles (2/4)

Soit {f :I\to\mathbb{R}^{n}} une fonction vectorielle.
On pose {f^{(0)}=f}. Soit {k} dans {\mathbb{N}}. Si {f^{(k)}} est définie et dérivable sur {I}, on pose {f^{(k+1)}=\bigl(f^{(k)}\bigr)'}.
Sous réserve d’existence, la fonction vectorielle {f^{(k)}} est appelée dérivée {k}-ième de {f}.

Soit {f :I\to\mathbb{R}^{n}} une fonction vectorielle.
Soit {k} dans {\mathbb{N}}. On dit que {f} est de classe {\mathcal{C}^{k}} sur {I} si {f^{(k)}} existe sur {I} et si elle y est continue.
On dit que {f} est de classe {\mathcal{C}^{\infty}} sur {I} si {f^{(k)}} existe pour tout {k} de {\mathbb{N}}.

Soit {f :I\to\mathbb{R}^{n}} de composantes {f_{1},\ldots,f_{n}}.
La fonction {f} est de classe {\mathcal{C}^{k}} si seulement si les {f_{i}} sont elles-mêmes de classe {\mathcal{C}^{k}}.
On a alors, pour tout {t} de {I} : {\ f^{(k)}(t)=\big(f^{(k)}_{1}(t),\,f^{(k)}_{2}(t),\,\ldots,\,f^{(k)}_{n}(t)\bigr)}Les composantes de la dérivée {k}-ième de {f} sont les dérivées {k}-ièmes des composantes de {f}.

Dans l’interprétation cinématique (si {f(t)} est la position d’un point mobile {M(t)} à l’instant {t}), le vecteur {f''(t)} (ou encore {M''(t)}) est appelé vecteur accélération à l’instant {t}.