D. Point intérieur
Soit {E} un espace vectoriel normé, soit {X} une partie de {E} et soit {a} un élément de {E}.
On dit que {a} est intérieur à {X} s’il existe {r>0} tel que {B(a,r)} soit incluse dans {X}.
Remarque évidente : les points intérieurs à {X} (s’il en existe) sont des éléments de {X}.
D. Ouvert d'un espace normé
Soit {X} une partie d’un espace vectoriel normé {E}.
On dit que {X} est un ouvert si tous les points de {X} sont intérieurs à {X}.
Important : si {\dim(E)\lt \infty}, le fait que {X} soit ouvert ne dépend pas de la norme.
P. Une boule ouverte est un ouvert
Soit {E} un espace vectoriel normé. Toute boule ouverte de {E} est un ensemble ouvert.
R. Premières propriétés
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les ensembles {E} et {\emptyset} sont des cas (très) particuliers d’ouverts de {E};
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une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert;
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une intersection finie d’ouverts est un ouvert.