Partie I | Partie II
Partie II. Théorème de Weierstrass
Soit {f} une fonction continue sur {[-1,1]}.
On pose {M=\displaystyle\sup_{t\in[-1,1]}\left|{f(t)}\right|}.
| Question II.1 Montrer qu’il existe un unique polynôme {F_n} tel que : {\deg F_n\le 2n-1} et {\forall\, k\in\{1,\ldots,n\},\;\begin{cases}F_n(a_k)=f(a_k)\cr F'_n(a_k)=0\end{cases}} Indication : on cherchera à exprimer {F_n} en fonction des polynômes {U_k}. |
| Question II.2.a Justifier l’existence de {\alpha\gt0} tel que :{\forall\,y,z\in[-1,1],\,\left|{y\!-\!z}\right|\le\alpha\Rightarrow\left|{f(y)\!-\!f(z)}\right|\le\dfrac\varepsilon2}Dans la suite de cette question, on note :{J=\{k, 1\le k\le n, \left|{x-a_k}\right|>\alpha\}} |
| Question II.2.b Montrer que {\left|{f(x)-F_n(x)}\right|\le\dfrac\varepsilon2+2M\displaystyle\sum_{k\in J}U_k(x)} |
| Question II.3.a Prouver que {\displaystyle\sum_{k\in J}U_k(x)\le\dfrac2{n\alpha^2}}. |
| Question II.3.b En déduire qu’il existe un polynôme {P} tel que : {\forall\, x\in[-1,1],\;\left|{f(x)-P(x)}\right|\le\varepsilon} |
| Question II.4 La question précédente établit le théorème de Weierstrass sur {[-1,1]}. Prouver que ce résultat s’étend à un segment {[a,b]} quelconque. |
| Question Écrire une procédure Maple prenant en argument une fonction {f} et un entier naturel non nul {n}. Cette procédure doit calculer le polynôme {F_n} (avec les notations de la question II.1) puis afficher sur {[-1,1]} la courbe représentative de {f}, celle de {F_n} (en pointillés) et l’ensemble des points d’abscisse {a_k} de ces courbes. |