Injections, surjections, bijections

Plan du chapitre "Raisonner"

Définition
Soit

{f}

une application de

{E}

dans

{F}

. On dit que

{f}

est injective (ou encore est une injection) si tout élément

{y}

{F}

possède au plus un antécédent par

{f}

Remarques:

Une définition équivalente de l’injectivité de ${f}$ est : ${\forall\, (x,x')\in E^2, x\ne x'\Rightarrow f (x)\ne f (x')}$ .
Autrement dit, une application est injective si elle « conserve les différences ».
Une autre définition équivalente (très utile) est : ${\forall\, (x,x')\in E^2,\;f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'}$

Proposition
Soit

{f}

dans

{\mathcal{F}(E,F)}

{g}

dans

{{\mathcal F}(F,G)}

Démonstration

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Définition
Soit

{f}

une application de

{E}

dans

{F}

. On dit que

{f}

est surjective (ou encore est une surjection) si tout élément

{y}

{F}

possède au moins un antécédent par

{f}

, autrement dit si:

{\forall\, y\in F,\exists\, x\in E, f(x)=y}

Une définition équivalente de la surjectivité de

{f:E\to F}

est :

{f(E)=F}

.
On dit souvent que

{f}

est une surjection de

{E}

sur

{F}

(plutôt que dans

{F}

Proposition
Soit

{f}

dans

{\mathcal{F}(E,F)}

{g}

dans

{{\mathcal F}(F,G)}

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