Relations binaires

• Raisonner juste et bien
• Rudiments de logique
• Quantificateurs et rédaction
• Quelques raisonnements classiques
• Parties d’un ensemble
• Applications
• Injections, surjections, bijections
• Relations binaires

Généralités

• La relation d’inclusion dans l’ensemble des parties de {E}: {A\mathcal{R} B\Leftrightarrow A\subset B}.
• La relation de divisibilité sur les entiers relatifs: {m\mathcal{R} n\Leftrightarrow m\text{\ divise\ }n}.
• Dans {\mathbb{Z}}, et si {a} non nul, on définit la relation de congruence modulo {a} : {m\mathcal{R} n\Leftrightarrow m-n\text{\ est divisible par\ }a}.
  On note le plus souvent {m\equiv n\;(a)}.
• Sur tout ensemble {E}, on peut définir la relation égalité : {x\mathcal{R} y\Leftrightarrow x =y}.
  Le graphe de cette relation est la diagonale {\Delta(E)=\{(x, x), x\in E\}}.
• Soit {E} et {F} deux ensembles quelconques.
  On définit la relation universelle de {E} vers {F} par : {\forall\, (x,y) \in E\times F, x\mathcal{R} y}.
  Le graphe de cette relation est l’ensemble {E\times F} tout entier.
• Soit {E} un ensemble fini et {\mathcal{R}} une relation sur {E}.
  On peut représenter {\mathcal{R}} en donnant la liste de tous les couples {(x,y)} de {E^2} tels que {x\mathcal{R} y}.
  Voici par exemple la description d’une relation sur {E=\{a,b,c,d,e,f\}} :
  {\begin{array}{l}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&a&b&c&d&e&f\cr a&\star&&&&&\cr b&\star&&&&&\star\cr c&&&\star&&&\cr d&&\star&&\star&\star&\star\cr e&\star&&&&\star&\cr f&&&&\star&&\end{array}\\\\\text{\ ou encore :\ }\left\{\begin{array}{llllll}a\mathcal{R} a\cr b\mathcal{R} a,&b\mathcal{R} f\cr c\mathcal{R} c\cr d\mathcal{R} b,&d\mathcal{R} d,&d\mathcal{R} e,&d\mathcal{R} f\cr e\mathcal{R} a,&e\mathcal{R} e\cr f\mathcal{R} d\end{array}\right.\end{array}}
• Restriction d’une relation :
  Si {\mathcal{R}} est une relation binaire sur {E}, et si {F} est une partie de {E}, alors on
  peut définir la restriction {{\mathcal S}} de {\mathcal{R}} à l’ensemble {F}.
  Le graphe de {{\mathcal S}} est l’intersection de {F\times F} et du graphe de {\mathcal{R}}.
  Par exemple, Si {P} est l’ensemble des entiers naturels premiers, la restriction à {P} de la relation de divisibilité n’est autre que la relation d’égalité sur {P}.

Propriétés éventuelles des relations binaires