Matrices orthogonales

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Matrices orthogonales

Remarque préliminaire :

Soit {M} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}, de colonnes {C_1,\ldots,C_n}.

Le terme général de {A={M}^{\top}M} est {a_{ij}={C_i}^{\top}\,C_j}.

Définition (matrices orthogonales)
Soit {M} une matrice de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. Les conditions suivantes sont équivalentes :
— la matrice {M} vérifie {{M}^{\top}M=\text{I}_n}.
— la matrice {M} est inversible et {M^{\,-1}={M}^{\top}}.
— les vecteurs-colonne de {M} forment une famille orthonormale.
Si ces conditions sont réalisées, on dit que {M} est une matrice orthogonale.

Remarques et exemples

Si {M} est une matrice orthogonale, il en est de même de {{M}^{\top}} (car {{M}^{\top}=M^{-1}}).

Une matrice {M} est donc orthogonale si et seulement si ses lignes forment une famille orthonormale.

Les matrices {R(\,\theta)=\begin{pmatrix}\cos \,\theta&-\sin\,\theta\cr \sin\,\theta&\cos\,\theta\end{pmatrix}}et {S(\,\theta)=\begin{pmatrix}\cos \,\theta&\sin\,\theta\cr \sin\,\theta&-\cos\,\theta\end{pmatrix}}sont orthogonales.

On verra plus loin que ce sont les seules les matrices orthogonales d’ordre {2}.

La matrice {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&1\cr 1&-2&2\cr 2&-1&-2\end{pmatrix}} est orthogonale.

Il en est de même de :{M=\begin{pmatrix}\cos\,\theta\cos\varphi &-\sin\,\theta & \cos\,\theta\sin\varphi\cr \sin\,\theta\cos\varphi& \cos\,\theta & \sin\,\theta\sin\varphi\cr \sin\varphi & 0 &-\cos\varphi\end{pmatrix}}

Proposition (le groupe orthogonal O(n))
On note {O(n)} ou {O_{n}(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre {n}.
C’est un groupe pour le produit des matrices (donc un sous-groupe de {GL(n,\mathbb{R})}).
On l’appelle le groupe orthogonal d’indice {n}.
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