Isométries vectorielles

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Isométries vectorielles

Définition (isométries vectorielles, automorphismes orthogonaux)
Soit

{E}

un espace euclidien. Soit

{f}

une application de

{E}

dans lui-même.
On dit que

{f}

est une isométrie vectorielle (ou encore : un automorphisme orthogonal) si

{f}

est linéaire et si elle « conserve la norme », c’est-à-dire si :

{\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\left\|u\right\|}

Les expressions « automorphisme orthogonal » et « isométrie vectorielle » sont donc synonymes.
Toute isométrie vectorielle ${f}$ de ${E}$ est effectivement un automorphisme de ${E}$ .

Soit ${f}$ un automorphisme orthogonal et soit ${u}$ un vecteur non nul de ${E}$ : s’il existe un réel ${\lambda}$ tel que ${f(u)=\lambda u}$ , alors nécessairement ${\lambda}$ est dans ${\{-1,1\}}$ .

Proposition (caractérisation des isométries vectorielles)
Soit

{f}

un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien

{E}

.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :

${f}$ est une isométrie vectorielle (c’est-à-dire elle conserve la norme).
${f}$ conserve le produit scalaire : ${\forall\, (x,y)\in E^2,\;\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left(x \mid y\right)}$ .
${f}$ transforme toute base orthonormale de ${E}$ en une base orthonormale de ${E}$ .
${f}$ transforme une base orthonormale de ${E}$ en une base orthonormale de ${E}$ .

Le groupe orthogonal

Les applications ${\text{Id}}$ et ${-\text{Id}}$ sont des automorphismes orthogonaux de ${E}$ .
Le composé de deux automorphismes orthogonaux de ${E}$ est un automorphisme orthogonal de ${E}$ .
Enfin, si ${f}$ est un automorphisme orthogonal alors ${f^{-1}}$ est un automorphisme orthogonal.

On peut résumer ces propriétés de la façon suivante :

Proposition (groupe orthogonal d'un espace euclidien)
Soit

{E}

un espace euclidien. On note

{O(E)}

l’ensemble des automorphismes orthogonaux de

{E}

.
Alors

{O(E)}

est un groupe pour la composition des applications, appelé groupe orthogonal de

{E}

Symétries vectorielles orthogonales

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres
ou consulter le plan du site

Page précédente : hyperplans affines d’un espace euclidien
Page suivante : matrices orthogonales