Produit mixte, produit vectoriel

Plan du chapitre "Espaces préhilbertiens réels"

Produit mixte dans un espace euclidien orienté

Dans cette section on se place dans un espace vectoriel euclidien orienté ${E}$ .

Il y a dans ${E}$ des bases orthonormales directes et des bases orthonormales indirectes. En effet, si ${\mathcal{B}=(e_1,e_2\ldots,e_n)}$ est orthonormale, alors la base ${\mathcal{B}'=(-e_1,e_2,\ldots,e_n)}$ est orthonormale d’orientation contraire.

Proposition (produit mixte)
Soit

{u_1,\ldots,u_n}

une famille de

{n}

vecteurs d’un espace euclidien orienté

{E}

de dimension

{n}

.
Le déterminant

{\det_{e}(u_1,u_2,\ldots,u_n)}

est le même dans toute base orthonormale directe

{e}

.
Ce déterminant est appelé produit mixte de

{u_1,u_2,\ldots,u_n}

et il est noté

{[u_1,u_2,\ldots,u_n]}

Produit mixte et orientation

L’application « produit mixte » est une forme ${n}$ -linéaire alternée sur ${E}$ .

Si ${e_1,e_2,\ldots,e_n}$ forment une base orthonormale directe, alors ${[e_1,e_2,\ldots,e_n]=1}$ .

Si ${e_1,e_2,\ldots,e_n}$ forment une base orthonormale indirecte, alors ${[e_1,e_2,\ldots,e_n]=-1}$ .

Soit ${u_1,u_2,\ldots,u_n}$ une famille de ${n}$ vecteurs de ${E}$ .
On a évidemment ${[u_1,u_2,\ldots,u_n]\ne0}$ si et seulement si les ${u_{k}}$ forment une base de ${E}$ .

Si la base ${u_1,u_2,\ldots,u_n}$ est directe (resp. indirecte) alors ${[u_1,u_2,\ldots,u_n]>0}$ (resp. ${\lt 0}$ )

Produit mixte et produit scalaire

Soit ${u,v}$ deux vecteurs d’un plan euclidien orienté ${E}$ .
Alors on a l’égalité ${\left(u \mid v\right)^2+[u,v]^2=\left\|u\right\|^2\left\|v\right\|^2}$ .

Dans ${E}$ euclidien orienté de dimension ${n}$ , on a : ${\bigl|[u_1,u_2,\ldots,u_n]\bigr|\le\left\|{u_1}\right\|\,\left\|{u_2}\right\|\,\cdots\,\left\|{u_n}\right\|}$ Si les ${u_{k}}$ sont libres, ce résultat est une égalité ${\Leftrightarrow}$ ${u_{k}}$ sont orthogonaux deux à deux.

Produit mixte et applications linéaires

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