- Produit scalaire, norme et distance
- Orthogonalité
- Produit mixte, produit vectoriel
- Projections orthogonales
- Hyperplans affines d'un espace euclidien
- Isométries vectorielles
- Matrices orthogonales
- Isométries en dimension 2
Vecteurs orthogonaux
Définition (orthogonalité de deux vecteurs)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Deux vecteurs {u} et {v} de {E} sont dits orthogonaux s’ils vérifient {\left(u \mid v\right)=0}.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Deux vecteurs {u} et {v} de {E} sont dits orthogonaux s’ils vérifient {\left(u \mid v\right)=0}.
Remarques
- ces notions dépendent évidemment du produit scalaire utilisé sur {E}. si on en change, les vecteurs qui étaient orthogonaux ne le sont donc plus nécessairement.
- la définition de l’orthogonalité est symétrique car {\left(u \mid v\right)=\left({u}\mid{v}\right)}.
-
le seul vecteur {u} qui est orthogonal à lui-même est le vecteur nul.
A fortiori, le seul vecteur {u} qui est orthogonal à tous les vecteurs de {E} est {u=0}.
Définition (familles orthogonales ou orthonormales)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une famille {(u_i)_{i\in I}} de vecteurs de {E} est orthogonale si les {u_i} sont orthogonaux deux à deux.
Si de plus ils sont unitaires, alors la famille est dite orthonormale (ou orthonormée).
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une famille {(u_i)_{i\in I}} de vecteurs de {E} est orthogonale si les {u_i} sont orthogonaux deux à deux.
Si de plus ils sont unitaires, alors la famille est dite orthonormale (ou orthonormée).
La famille {(u_i)_{i\in I}}est orthonormale {\Leftrightarrow\forall\,(i,j)\in I^2,\;\left({u_i}\mid{u_j}\right)=\delta_{ij}} (notations de Kronecker).
Deux exemples classiques
- La base canonique de {\mathbb{R}^n} est orthonormale pour le produit scalaire canonique.
-
On se place dans {{\mathcal C}([0,2\pi],\mathbb{R})} muni du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_0^{2\pi} f(t)\,g(t)\,\text{d}t}.
La famille des {f_{n}:x\mapsto\cos(nx)}, avec {n} dans {\mathbb{N}}, est orthogonale pour ce produit scalaire.
Proposition (une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Si une famille {(u_i)_{i\in I}} est orthogonale et formée de vecteurs non nuls, alors c’est une famille libre.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Si une famille {(u_i)_{i\in I}} est orthogonale et formée de vecteurs non nuls, alors c’est une famille libre.
C’est le cas notamment d’une famille {(u_i)_{i\in I}} orthonormale.
En particulier, si {\dim E=n\ge1}, une famille orthonormale de {n} vecteurs est une base orthonormale.
Proposition (théorème de Pythagore)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Si {(u_k)_{1\le\,k\,\le p}} est orthogonale, alors {\Big\|\displaystyle\sum_{k=1}^p u_k\Big\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^p\left\|{u_k}\right\|^2} (relation de Pythagore).
Attention, la réciproque n’est vraie que si {p=2}.
Ainsi : {\left(u \mid v\right)=0\Leftrightarrow\left\|{u+v}\right\|^2=\left\|u\right\|^2+\left\|v\right\|^2}.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Si {(u_k)_{1\le\,k\,\le p}} est orthogonale, alors {\Big\|\displaystyle\sum_{k=1}^p u_k\Big\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^p\left\|{u_k}\right\|^2} (relation de Pythagore).
Attention, la réciproque n’est vraie que si {p=2}.
Ainsi : {\left(u \mid v\right)=0\Leftrightarrow\left\|{u+v}\right\|^2=\left\|u\right\|^2+\left\|v\right\|^2}.
Orthogonal d’une partie
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
- avoir une souscription active sur mathprepa
- et être connecté au site
- revenir à la page d'accueil
- ou tester la page d'extraits libres
- ou consulter le plan du site
Page précédente : produit scalaire, norme et distance
Page suivante : produit mixte, produit vectoriel