Formules de Taylor

Plan du chapitre "Intégration"

Proposition (formule de Taylor avec reste intégral)
Soit

{f:[a,b]\to \mathbb{K}}

de classe

{\mathcal{C}^{n+1}}

.
Alors :

{f(b)=\displaystyle\sum_{k=0}^n\,\dfrac{(b-a)^k}{k!}\,f^{(k)}(a)+R_n}

où

{R_n=\displaystyle\int_a^{\,b}\,\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)\,\text{d}t}

.
La quantité

{R_n}

est appelée reste intégral de la formule de Taylor de

{f}

à l’ordre

{n}

{a}

Proposition (inégalité de Taylor-Lagrange)
Soit

{f:I\to \mathbb{K}}

de classe

{\mathcal{C}^{n+1}}

.
Soit

{a,b}

dans

{I}

, et

{M=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f^{(n+1)}\right|}

. Alors

{\Bigl|f(b)-\displaystyle\sum_{k=0}^n\,\dfrac{(b-a)^k}{k!}\,f^{(k)}(a)\Bigr|\le M\,\dfrac{\left|b-a\right|^{n+1}}{(n+1)!}}

En posant ${h=b-a}$ , et en posant ${M=\displaystyle\sup_{[a,a+h]}\left|f^{(n+1)}\right|}$ : ${\displaystyle\Bigl|f(a+h)-\displaystyle\sum_{k=0}^n\,\dfrac{h^k}{k!}\,f^{(k)}(a)\Bigr|\le M\,\dfrac{\left|h\right|^{n+1}}{(n+1)!}}$

Cas particuliers ${n=0}$ et ${n=1}$

Pour ${n=0}$ , c’est l’inégalité des accroissements finis : ${\left|f(b)-f(a)\right|\le M_1\,\left|b-a\right|\text{\ où\ }M_1=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f'\right|}$ Pour ${n=1}$ , on trouve : ${\begin{array}{l}\left|{f(b)\!-\!f(a)\!-\!(b\!-\!a)f'(a)}\right|\le M_2\,\dfrac{(b-a)^2}{2!}\\[9pts]\quad\text{\ où\ }M_2=\displaystyle\sup_{[a,b]}\left|f''\right|\end{array}}$

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Cas particuliers {n=0} et {n=1}

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Cas particuliers ${n=0}$ et ${n=1}$