Intégrale et primitives

Plan du chapitre "Intégration"

Dérivée de la fonction ${x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}$

Pour les définitions relatives aux primitives, on se reportera au début du chapitre « Calcul intégral ».

Définition (dérivée d'une intégrale fonction de sa borne supérieure)
Soit

{f:I\to\mathbb{K}}

une fonction continue. Soit

{a,b}

deux éléments de

{I}

.
Alors

{F:x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t}

est la primitive de

{f}

sur

{I}

qui s’annule au point

{a}

En particulier, toute fonction continue sur un intervalle y possède des primitives.
Le résultat précédent peut s’écrire, de façon « décontractée » : ${\Bigl(\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t\Bigr)'=f(x)}$ .
Il exprime que l’intégration est en quelque sorte l’opération inverse de la dérivation.

Proposition (expression d'une intégrale à l'aide d'une primitive quelconque)
Soit

{f:I\to\mathbb{K}}

une application continue. Pour toute primitive

{F}

{f}

, on a :

{\forall\, (a,b)\!\in\! I^2,\displaystyle\int_a^bf(t)\text{d}t=\bigl[F\bigr]_a^b=F(b)\!-\!F(a)}

Méthodes d’intégration

Proposition (intégration par parties)
Soit

{f}

{g}

deux fonctions de classe

{{\mathcal C}^{1}}

sur un intervalle

{I}

, à valeurs dans

{\mathbb{K}}

.
Pour tous

{a,b}

dans l’intervalle

{I}

, on a :

{\displaystyle\int_a^b\!f(x)g'(x)\text{d}x\!=\!\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b\!-\!\displaystyle\int_a^b\!f'(x)g(x)\text{d}x}

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres
ou consulter le plan du site

Page précédente : intégrale sur un segment
Page suivante : formules de Taylor

Dérivée de la fonction {x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}

Méthodes d’intégration

Dérivée de la fonction ${x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}$