- Cardinal d'un ensemble fini
- Calculs de quelques cardinaux usuels
- p-listes et combinaisons
- Ensembles dénombrables
Définition (ensemble dénombrable)
Un ensemble {E} est dit dénombrable s’il existe une bijection de {\mathbb{N}} sur {E}.
Un ensemble {E} est dit dénombrable s’il existe une bijection de {\mathbb{N}} sur {E}.
Remarques
- Les ensembles suivants sont, de façon évidente, dénombrables : l’ensemble {\mathbb{N}} lui-même, l’intervalle d’entiers {[[ a,\infty[} pour tout {a} de {\mathbb{Z}} (penser à l’application {n\mapsto a+n}), l’ensemble des entiers pairs (avec l’application {n\mapsto 2n}) et celui des entiers impairs (avec l’application {n\mapsto 2n+1}).
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Soit {E} un ensemble dénombrable.
Un ensemble {F} est en bijection avec {E} si et seulement si il est lui-même dénombrable. -
Un ensemble dénombrable est infini.
La réciproque est fausse : l’ensemble {\mathbb{R}} est infini mais n’est pas dénombrable (voir plus loin).
Proposition (les parties de ℕ sont finies ou dénombrables)
Toute partie de {\mathbb{N}} est soit finie, soit dénombrable.
Plus généralement toute partie d’un ensemble dénombrable est soit finie, soit dénombrable.
Toute partie de {\mathbb{N}} est soit finie, soit dénombrable.
Plus généralement toute partie d’un ensemble dénombrable est soit finie, soit dénombrable.
Proposition (caractérisation des ensembles finis ou dénombrables)
Soit {E} un ensemble. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
— l’ensemble {E} est fini ou dénombrable;
— il existe une application surjective de {\mathbb{N}} sur {E};
Ainsi {E} est fini ou dénombrable {\iff} on peut le décrire « en extension » : {E=\{x_{n},\; n\in\mathbb{N}\}}.
Remarque : dans cette proposition, on peut remplacer {\mathbb{N}} par un ensemble dénombrable connu.
Remarque : un ensemble {E} est fini ou dénombrable si on peut l’écrire {E=\{x_{n},\; n\in J\}}, où {J} est une partie de {\mathbb{N}} et où les {x_{n}} sont distincts deux à deux.
Soit {E} un ensemble. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
— l’ensemble {E} est fini ou dénombrable;
— il existe une application surjective de {\mathbb{N}} sur {E};
Ainsi {E} est fini ou dénombrable {\iff} on peut le décrire « en extension » : {E=\{x_{n},\; n\in\mathbb{N}\}}.
Proposition (l'ensemble ℤ est dénombrable)
L’ensemble {\mathbb{Z}} des entiers relatifs est dénombrable.
L’ensemble {\mathbb{Z}} des entiers relatifs est dénombrable.
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