| On pose {g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-xt}\dfrac{1-\cos(t)}{t^{2}}\,\text{d}t}.
Monrer que {g} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}^{+*}}, et calculer {g''(x)}. Préciser les limites de {g} et {g'} en {+\infty}, puis calculer {g(x)} pour {x>0}. Montrer que {g} est continue en {0}. Calculer {g(0)}. En déduire {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}. |