Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, avec {0\lt a\lt b}. On suppose qu’il existe {k\ge0} tel que {\forall\, x\ne y\in[a,b],\;|f(y)-f(x)|\lt k|y^3-x^3|}
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| Exercice 2. Soient {f,g} deux fonctions continues sur {[a,b]}. On pose {M(\alpha)=\displaystyle\max_{x\in[a,b]}(f(x)+\alpha g(x))}. Montrer que {M} est lipschitzienne sur {\mathbb{R}}. |
| Exercice 3. On se donne {\alpha\in]0,1[}. Montrer que {x\mapsto\ x^\alpha} est uniformément continue sur {\mathbb{R}^+}. |
| Exercice 4. Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, uniformément continue. Montrer qu’il existe {a,b\ge0} tels que : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;|f(x)|\le a|x|+b} |