Uniforme continuité (2/2)

Exercice 1.
Soient {a,b} deux réels tels que {0\lt a\lt b}, et soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}.
On suppose {\exists\, k>0,\;\forall\, x,y\in[a,b],\;x\ne y,\;|f(y)-f(x)|\lt k|y^3-x^3|}.

  1. Montrer que {f} est uniformément continue sur {[a,b]}.
  2. Montrer que {\varphi:x\mapsto f(x)-kx^3} est strictement monotone sur {[a,b]}.
  3. On suppose que pour tout {x} de {[a,b]}, {ka^3\le f(x)\le kb^3}.
    Montrer qu’il existe un unique {\alpha\in[a,b]} tel que {\varphi(\alpha)=0}.

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Exercice 2.
Soient {f,g} deux fonctions continues sur {[a,b]}, à valeurs réelles.
Pour tout réel {\alpha}, on pose {M(\alpha)=\displaystyle\max_{x\in[a,b]}(f(x)+\alpha g(x))}.
Montrer que la fonction {M} est lipschitzienne sur {\mathbb{R}}.
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Exercice 3.
On se donne un réel {\alpha} de {]0,1[}.
Montrer que {x\mapsto\ x^\alpha} est uniformément continue sur {\mathbb{R}^+}.
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Exercice 4.
Soit {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, uniformément continue.
Montrer qu’il existe {a,b\ge0} tels que : {\forall\, x\in\mathbb{R},\;|f(x)|\le a|x|+b}.
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