Intégration sur un segment (2/2)

Exercice 1.
Soit {f} une fonction continue et positive sur {[a,b]}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{I_n}=\max_{x\in[a,b]}f(x)}, où {I_n=\displaystyle\int_{a}^{b} f^n(x)\,\text{d}x}.
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Exercice 2.
Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, continue par morceaux.
Montrer que {\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow+\infty}\,\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\sin \lambda x\,\text{d}x=0}.
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Exercice 3.
Soit {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, continue par morceaux.
Prouver {\displaystyle\lim_{\lambda\rightarrow+\infty}\,\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)|\sin \lambda x|\,\text{d}x=\dfrac2\pi\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x}.
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Exercice 4.
Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}}, continue. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\,n\displaystyle\int_{0}^{1} x^nf(x)\,\text{d}x=f(1)}.
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Exercice 5.
Soit {f} une fonction de classe {{\mathcal C}^1} sur {[0,1]}, telle que {f(1)=0}.
Montrer que {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\,n^2\displaystyle\int_{0}^{1} x^nf(x)\,\text{d}x=f'(1)} (cf exercice précédent).
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