Intégration sur un segment (1/2)

Exercice 1.
Montrer que {S_n\sim 2\sqrt n}, avec {S_n=1+\dfrac1{\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt3}+\cdots+\dfrac1{\sqrt n}}.
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Exercice 2.
Soit {E} l’ensemble des fonctions continues de {[a,b]} dans {\mathbb{R}^{+*}}.

Pour toute {f\in E}, on pose {I(f)=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\text{d}x}{f(x)}}.

  1. Montrer que : {\forall f\in E,\;I(f)\ge(b-a)^2}. Quand y-a-t-il égalité?
  2. Montrer plus précisément que {\{I(f),f\in E\}=[(b-a)^2,+\infty[}.

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Exercice 3.
Soit {f} une fonction {[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}, continue, telle que {\left|\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,\text{d}x\right|=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|\,\text{d}x}.
Montrer que {f} garde un signe constant sur {[a,b]}.
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Exercice 4.
Soit {f} une fonction de classe {{\mathcal C}^1} sur {[a,b]}, et telle que {f(a)=f(b)=0}.
Montrer que {\displaystyle\int_{a}^{b} f^2(x)\,\text{d}x\le\dfrac{(b-a)^2}8\displaystyle\int_{a}^{b} f\,'^2(x)\,\text{d}x}.
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Exercice 5.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{\sin x}x\,\,\text{d}x\gt\displaystyle\int_{\pi/2}^\pi\dfrac{\sin x}x\,\,\text{d}x}.
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