Intégrales fonctions de leurs bornes

Exercice 1.
Montrer que {x>a>\text{e}^2\Rightarrow\displaystyle\int_{a}^{x}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}\lt\dfrac{2x}{\ln x}}.
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Exercice 2.
Montrer que {\displaystyle\int_{\text{e}}^{x}\ln\ln t\,\text{d}t\sim x\ln\ln x} au voisinage de {+\infty}.
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Exercice 3.
Trouver les fonctions continues {f} telles que : {\forall x\in\mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
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Exercice 4.
Montrer que {\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\displaystyle\int_{ax}^{bx}\dfrac{\sin t}{t^2}\,\text{d}t=\ln\dfrac ba} (avec {0\lt a\lt b}).
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Exercice 5.
Calculer la limite de {I(x)=\dfrac1x\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\arctan t}t\,\text{d}t} quand {x} tend vers {0} ou vers {+\infty}.
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