Suites numériques (1/5)

Une suite d’éléments d’un ensemble {E} est une fonction (une application) de {\mathbb{N}} dans {E}.
Il revient au même de dire que {u} est une famille d’éléments de {E} indicée par {\mathbb{N}}.
Plutôt que de noter {u(n)} l’image d’un entier {n}, on note en général {u_n}.
La suite {u} est elle-même notée {(u_n)_{n\in \mathbb{N}}} , ou {(u_n)_{n\ge0}}, ou simplement {(u_{n})}.
On dit que {u_{n}} est le terme d’indice {n} (ou terme général) de la suite {u}, et que {u_0} en est le terme initial.

On parle de suite numérique si {E=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, réelle si {E=\mathbb{R}}, complexe si {E=\mathbb{C}}.

La donnée d’une suite complexe {(z_n)_{n\ge0}} équivaut à celle de deux suites réelles {(u_n)_{n\ge 0}} et {(v_n)_{n\ge 0}} définies par : {\forall\, n\in\mathbb{N},z_n=u_n+iv_n}, c’est-à-dire {u_n=\text{Re}(z_n)} et {v_n=\text{Im}(z_n)}.

Conformément au programme, l’essentiel de ce chapitre est consacré aux suites réelles.

Deux suites {(u_n)_{n\ge0}} et {(v_n)_{n\ge0}} sont égales si et seulement si {u_n=v_n} pour tout {n}.

Il suffit donc qu’il existe au moins un entier {n} tel que {u_{n}\ne v_{n}} pour que les deux suites soient considérées comme distinctes.

On ne confondra pas une suite {u} (c’est-à-dire une fonction définie sur {\mathbb{N}}) avec l’ensemble des valeurs que prend cette fonction. Par exemple, les suites {n\mapsto u_n=(-1)^n} et {n\mapsto v_n=(-1)^{n+1}} sont distinctes (on a même {u_{n}\ne v_{n}} pour tout {n}), mais ont le même ensemble de valeurs {\{-1,1\}}.

Enfin, on ne confondra jamais la suite {(u_{n})_{n\ge0}} avec son terme général {u_{n}}.
Ceci est particulièrement important si on choisit la notation {(u_{n})} pour désigner la suite {u}.