Quantificateurs en mathématiques

Plan du chapitre "Raisonner"

Quantificateurs et rédaction

La plupart des raisonnements mathématiques portent sur des propriétés d’éléments d’un ensemble {E}. On est donc très souvent amené à écrire des phrases telles que « soit {x} un élément de {E} tel que… », ou « il existe un élément {x} de {E} tel que… », ou encore « pour tout élément {x} de {E}, on a… ».

De très nombreuses erreurs de raisonnement, ou en tout cas d’imprécisions, viennent d’un manque de rigueur (de discipline) avec lequel on écrit ces phases du raisonnement.
On se propose ici de donner quelques conseils pour améliorer la rédaction de ces passages.

Les deux quantificateurs {\exists} et {\forall}

Très souvent, on est amené à étudier une propriété (un « prédicat ») {\mathcal{P}} portant les éléments d’un ensemble {E}. Plusieurs questions importantes peuvent alors se poser :

  • L’un au moins des éléments de {E} possède-t-il la propriété {\mathcal{P}}?
  • Existe-t-il dans {E} un unique élément vérifiant la propriété {\mathcal{P}}?
  • Tous les éléments de {E} possèdent-t-il la propriété {\mathcal{P}}?

Pour formaliser ces différentes questions (et pour affirmer qu’une réponse est positive… ou négative), les mathématiques utilisent des quantificateurs.

Définition (les deux quantificateurs)
Soit {\mathcal{P}} une propriété portant sur les éléments d’un ensemble {E}.

  • La proposition « {\exists\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » dit qu’au moins un élément {x} de {E} vérifie la propriété {\mathcal{P}}.
    On prononcera par exemple : « il existe {x} dans {E} tel que {\mathcal{P}(x)} » (c’est-à-dire tel que {x} vérifie {\mathcal{P}}).
    On dit que « {\exists} » est le quantificateur existentiel.
  • La proposition « {\forall\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » exprime que tout
    élément     {x} de {E} vérifie la propriété {\mathcal{P}}.
    On prononcera par exemple : « quelque soit {x} appartenant à {E}, on a {\mathcal{P}(x)} ».
    On dit que « {\forall\,} » est le quantificateur universel.

On introduit également la notation suivante :

  • La proposition « {\exists\,!\,x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » exprime qu’un et un seul élément {x} de {E} vérifie la propriété {\mathcal{P}}.

Il est facile d’écrire la négation d’une proposition utilisant un quantificateur:

Proposition (négation d'une proposition avec quantificateurs)
Soit {\mathcal{P}} une propriété portant sur les éléments d’un ensemble {E}.
La négation de la proposition « {\exists\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est « {\forall\, x\in E,\,\text{non}\,\mathcal{P}(x)} »
La négation de la proposition « {\forall\, x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est « {\exists\, x\in E,\,\text{non}\,\mathcal{P}(x)}
En revanche la négation de la proposition « {\exists\,!\,x\in E,\;\mathcal{P}(x)} » est plus compliquée et s’exprimerait de la manière suivante : « il n’existe aucun élément de {E} vérifiant la propriété {\mathcal{P}} ou alors il en existe au moins deux ».

Phrases avec plusieurs quantificateurs

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