| Exercice 1. Écrire une fonction « log2 : int -> int = |
| Exercice 2. On définit les suites {(a_n)_{n\ge0}} et {(b_n)_{n\ge0}} par la donnée de {a_0,b_0} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n},\;b_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2}}. Écrire une fonction « aritgeo : float -> float -> int -> unit » qui prend en argument les valeurs {a_0}, {b_0} et l’entier {n}, et qui affiche {a_k} et {b_k} pour tout {k} de {\{1,\ldots,n\}}. |
| Exercice 3. On appelle moyenne arithmético-géométrique de deux réels (positifs) {a_0} et {b_0} la limite commune des deux suites {(a_n)_{n\ge0}} et {(b_n)_{n\ge0}} définies à l’exercice précédent. Écrire une fonction « maritgeo : float -> float -> float » qui prend en argument les valeurs {a_0}, {b_0} et qui renvoie leur moyenne arithmético-géométrique. |
| Exercice 4. Écrire une fonction « vcatalan : int -> int array » renvoyant le tableau des {(n+1)} premiers termes de la suite de Catalan, définie par {c_0=1} et {\forall\, n\ge1,\;c_n=\displaystyle\sum\limits_{j+k=m-1}c_jc_k}. |
| Exercice 5. Les nombres de Catalan (cf exercice précédent) satisfont à la relation {c_n=\dfrac{2(2n-1)}{n+1}c_{n-1}} pour tout {n\ge 1}. Écrire une fonction itérative « catalan : int -> int » renvoyant {c_n}. |
| Exercice 6. Les nombres de Catalan sont définis explicitement par : {\forall\, n\ge 0,\;c_n=\dfrac{1}{n+1}\dbinom{2n}{n}}. Écrire une fonction « catalan : int -> int » renvoyant {c_n} (en utilisant cette définition de {c_n} bien sûr). |
| Exercice 7. Écrire une fonction « sumexp : int -> float -> float » calculant la somme {S_n(x)=\displaystyle\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!}}. |
| Exercice 8. Modifier la fonction « sumexp » de l’exercice précédent de façon à ce qu’elle utilise un schéma de Horner. |