Exercices Python sur la numération

1. Écrire une fonction chiffres(n,b) qui renvoie la liste des chiffres de l’entier n≥0 en base b≥2 (ordonnée dans l’ordre des puissances décroissantes de b). Par défaut b=10.
2. Écrire une fonction chiffres_cr(n,b) qui renvoie la liste des chiffres de l’entier n≥0 en base b≥2 (ordonnée dans l’ordre des puissances croissantes de b). Par défaut b=10.
3. Écrire une fonction nombre(L,b) qui, à partir de la liste L des chiffres d’un entier n en base b (dans l’ordre des puissances décroissantes de b) renvoie l’entier n. Par défaut b=10.
4. Plus difficile : écrire une fonction récursive nombres_rec(L,b) de la fonction précédente.

1. Écrire une fonction estunpal prenant en argument un entier n et une base b (facultative, par défaut b = 10) et répondant True ou False suivant que n est (ou n’est pas) un palindrome en base b.
   Indication : utiliser la fonction chiffres de l’exercice précédent.
2. Combien y a-t-il de palindromes (en base 10) dans l’intervalle [1, 1000000]?
3. Trouver les entiers {n\lt 10^6} qui ne sont pas palindromiques mais dont le carré est palindromique (tout ça en base 10). Par exemple 836 en fait partie car 8362 = 698896 est palindromique.
4. Déterminer le plus petit nombre non palindromique dont le cube est palindromique (en base 10).

Par exemple, avec {b=10} et {u_0=4193}, on a {\begin{cases}d_0=9431\\ c_0=1349\end{cases}} donc {u_1=8062}.
Ainsi {\begin{cases}d_1=8820\\ c_0=0288\end{cases}} donc {u_2=8532}, puis {\begin{cases}d_2=8532\\ c_2=2358\end{cases}} donc {u_3=6174}.

Ensuite, on vérifie que {K_{10}(6174) = 6174} : la suite {(u_n)} stationne donc en 6174.

1. Montrer que, pour {u_{0}\in\mathbb{N}} et {b\ge2}, il existe un {p} minimum et un {m\gt p} minimum tels que {u_{m}=u_{p}}.
   À partir de {p}, la suite {(u_{n})} boucle donc sur la liste {[u_{p},u_{p+1},\ldots,u_{m-1}]} (appelé le cycle de {u_{0}}).
   Bien sûr, si {m=p+1}, la suite {(u_{n})} est constante à partir du rang {p} (le cycle se réduisant alors à la valeur {u_{p}}).
2. Écrire une fonction suivant passant de {u_{n}} à {u_{n+1}} en base {b} (par défaut {b=10}, et on affichera les {u_{n}} en base 10).
   On utilisera les fonctions chiffres et nombre de l’exercice 1.
3. Écrire une fonction cycle d’arguments {u_{n}} et {b} (par défaut {b=10}) et renvoyant le couple formé par le nombre {d} de valeurs avant d’atteindre le cycle, et enfin ce cycle (sous forme d’un tuple trié commençant par la valeur minimum). Par exemple cycle(1574) renvoie le couple (7,[6174]).
4. Explorer la situation en base {10}, quand {u_{0}} possède exactement quatre chiffres.
5. Explorer la situation en base {10}, quand {u_{0}} possède exactement cinq chiffres.
6. Explorer la situtation en base {2}, quand {u_{0}} possède exactement onze chiffres.
7. Explorer la situtation en base {16}, quand {u_{0}} possède exactement quatre chiffres.