(Oral X Mp/Mpi)
| Question a) Pour {p\in[0,1]} et {t\geqslant0}, montrer {pe^{(1-p)t}+(1-p)e^{-pt}\leqslant e^{t^2/2}}. |
| Question b) Si {B\sim\mathcal B(m,p)}, montrer pour {x\geqslant0} que {\mathbb P(B\geqslant mx+mp)\leqslant e^{-mx^2/2}}. |
| Question c) Soient {k,m\geqslant1}, {n=mk}, et {X_1,\ldots,X_n} indépendantes, toutes d’espérance {\mu} et d’écart-type {\sigma}. On pose {M_i=k^{-1}\sum\limits_{j=1}^kX_{ik+j}} pour {1\leqslant i\leqslant m-1}. On range ces {m-1} valeurs en ordre croissant {N_1,\ldots,N_{m-1}}, en comptant les répétitions, et {M=N_{\lfloor m/2\rfloor}}. Montrer {\mathbb P(|M-\mu|\geqslant2\sigma/\sqrt k)\leqslant2e^{-m/32}}. |