Calcul intégral (5/5)

Dans cette section, il sera question de fonctions à valeurs réelles ou complexes.
Ces fonctions seront définies sur un intervalle ouvert non vide {I} de {\mathbb{R}}.
On notera {\mathbb{K}} pour désigner indifféremment {\mathbb{R}} et {\mathbb{C}}, et on parlera de fonctions à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Soit {I} un intervalle ouvert non vide. Soit {a,b} deux éléments de {\mathbb{K}}.
Soit {x\mapsto f(x)} une fonction continue sur {I}, à valeurs réelles ou complexes.
On considère l’équation (E) : {y''+ay'+by=f(x)}.
On dit que {(E)} est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
On note {(H)} l’équation différentielle : {y''+ay'+by=0}.
On dit que {(H)} est l’équation différentielle homogène associée à {(E)}.

Résoudre (ou « intégrer ») l’équation {(E)} (resp. {(H)}) c’est trouver toutes les fonctions deux fois dérivables {y:I\to\mathbb{K}} (resp. {y:\mathbb{R}\to\mathbb{K}}) qui vérifient l’égalité {(E)} sur {I} (resp. {(H)} sur {\mathbb{R}}).

On pourra noter {\mathcal{S}_{E}} (resp. {\mathcal{S}_{H}}) l’ensemble des solutions de {(E)} de {I} (resp. de {(H)} sur {\mathbb{R}}).

À la fois pour {(E)} et pour {(H)}, la « solution générale » désigne une expression (en fonction de deux constantes d’intégration, comme on le verra) de toutes les « solutions particulières ».