Une structure algébrique

Soit {E} un ensemble non vide.

On munit {E} d’une loi {\,\text{T}\,} vérifiant :
{\forall\;a,b,c\in E,\begin{cases}(1)\, :\,a\,\text{T}\,a=b\,\text{T}\,b\\(2)\, : (a\,\text{T}\,c)\,\text{T}\,(b\,\text{T}\,c)=a\,\text{T}\,b\\(3)\, :\,a\,\text{T}\,(a\,\text{T}\,b)=b\end{cases}}Pour simplifier l’écriture, on notera : {\forall\,a\in E,\;a^2=a\,\text{T}\,a=e}On définit ensuite une loi {\star} en posant : {\forall \;a,b\in E,\;a\star b=a\,\text{T}\,(e\,\text{T}\,b)}

Question 1. Montrer que {e} est neutre pour la loi {\star}.

Question 2. Montrer que pour tout {a} de {E}, {a'=e\,\text{T}\,a} est symétrique de {a} pour la loi {\star}.

Dans les questions 3.(a) à 3.(e), suivantes, {a,b,c} sont des éléments quelconques de {E}.

Question 3.(a) Montrer que : {(a\,\text{T}\,b)'=b\,\text{T}\,a}

Question 3.(b) Montrer que : {a\,\text{T}\,(b\,\text{T}\,c)=(a\,\text{T}\,b)\,\text{T}\,c'}

Question 3.(c) Montrer que : {(a\,\text{T}\,b)\,\text{T}\,c=a\,\text{T}\,(b\,\text{T}\,c')}

Question 3.(d) Montrer que : {(a\,\text{T}\,b)'=a'\,\text{T}\,b'}

Question 3.(e) Montrer que : {a\star b=a\,\text{T}\,b'}

Question 4. En déduire que la loi {\star} est associative et commutative. Conclusion?

Question 5. Montrer que dans {\mathbb{R}} on définit ainsi l’addition à partir de la soustraction!

On remplace la condition {(3)} par :{(3') :(a\,\text{T}\,(e\,\text{T}\,b))\,\text{T}\,b=a} (où {e} est la valeur commune de tous les {x\,\text{T}\,x})

Question 6.(a) Montrer que {(E,\star)} est un groupe.

Question 6.(b) En choisissant pour {E} l’ensemble des permutations d’un ensemble {X} et en définissant la loi {\,\text{T}\,} par {f\,\text{T}\,g=f\circ g^{-1}}, montrer que {(E,\star)} peut ne pas être abélien.

On remplace la condition {(3) } par {a\,\text{T}\,b^2=a}.

Question 7.(a) Montrer que {(E,\star)} est un groupe, non nécessairement abélien (exemple?).

Question 7.(b) Si on remplace de plus {(2)} par :{(a\,\text{T}\,b)\,\text{T}\,(a\,\text{T}\,c)=c\,\text{T}\,b}montrer que {(E,\star)} est abélien.