Applications

Plan du chapitre "Raisonner"

Définition
Soient

{E}

{F}

En deux ensembles non vides.
Une application (on dit aussi une fonction)

{f}

{E}

vers

{F}

est le moyen d’associer, à chaque élément

{x}

{E}

, un unique élément

{y}

{F}

. On note alors

{y=f(x)}

. On exprime l’égalité

{y=f(x)}

en disant que

{y}

est l’image de

{x}

par

{f}

, ou que

{x}

est un antécédent de

{y}

par

{f}

.
On dit que

{E}

est l’ensemble de départ et que

{F}

l’ensemble d’arrivée de

{f}

Définition
Soit

{E}

{F}

deux ensembles. On note

{\mathcal{F}(E,F)}

, ou encore

{F^{E}}

l’ensemble de toutes les applications de

{E}

vers

{F}

. Si les deux ensembles

{E}

{F}

sont égaux, on note plus simplement

{\mathcal{F}(E)}

(ou

{E^{E}}

Notations et remarques:

Une application ${f}$ de ${E}$ vers ${F}$ est souvent notée ${E\overset{f}{\longrightarrow}F}$ , où ${f:\underset{x\mapsto y=f(x)}{E\longrightarrow F}}$
Si {E} est fini, on peut représenter {f:E\to F} par la donnée de chacune des images par {f}.
On définit par exemple une application {f} de {E=\{a,b,c,d,e\}} vers {F=\{t,u,v,w\}} par : {f(a)=t,f(b)=t,f(c)=v,f(d)=w,f(e)=w}
Comme on le voit sur cet exemple, tout élément de {E} possède une image et une seule (c’est la définition même d’une application) mais un élément donné de {F} peut très bien :
- ne posséder aucun antécédent (l’élément ${u}$ n’en a pas)
- ou posséder un seul antécédent (celui de ${v}$ est ${c}$ )
- ou en posséder plusieurs ( ${t}$ et ${w}$ en ont chacun deux) ou une infinité (pas ici… !)
Deux applications {f} et {g} sont égales si:
- elles ont le même ensemble de départ ${E}$ et le même ensemble d’arrivée ${F}$ .
- pour tous ${x}$ de ${E}$ , on a ${f(x)=g(x)}$ .

Définition (application Identité)
Soit

{E}

un ensemble. On définit l’application identité de

{E}

dans

{E}

, notée

{\text{Id}_E}

, par:

{\forall\, x \in E, \text{Id}_E(x) = x}

Définition (applications constantes)
Une application

{f}

{E}

dans

{F}

est dite constante s’il existe un élément

{\alpha}

{F}

, tel que, pour tout

{x}

{E}

{f(x)}

soit égal à

{\alpha}

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