Parties d'un ensemble

Plan du chapitre "Raisonner"

À partir de deux ensembles ${E}$ et ${F}$ , on peut en construire d’autres:

Définition (intersection et réunion)
Soit

{E}

{F}

deux ensembles.

{E\cap F}

(on lit «

{E}

inter

{F}

») est l’ensemble formé des éléments qui sont à la fois dans

{E}

et dans

{F}

{E\cup F}

(on lit «

{E}

union

{F}

») est l’ensemble formé des éléments qui sont dans l’un au moins des ensembles

{E}

{F}

Définition (ensembles disjoints)
On dit que

{E,F}

sont disjoints si

{E\cap F}

est vide.
Dans ce cas, on dit que

{E\cup F}

est une union disjointe.

On ne confondra pas distincts et disjoints:

dire que ${E}$ et ${F}$ sont distincts, c’est dire: ${(\exists\, x\in E,x\notin F)}$ ou ${(\exists\, x\in F,x\notin E)}$ .
dire que ${E}$ et ${F}$ sont disjoints, c’est dire: ${(\forall\, x\in E,x\notin F)}$ et ${(\forall\, x\in F,x\notin E)}$ .

Définition (différence et différence symétrique)
Soit

{E}

{F}

deux ensembles.

Différence: l’ensemble ${E\setminus F}$ est formé des éléments qui sont dans ${E}$ mais pas dans ${F}$ .
Différence symétrique: on note ${E\Delta F}$ l’ensemble ${(E\cup F)\setminus(E\cap F)}$ .
C’est l’ensemble des éléments qui sont dans un et un seul des deux ensembles ${E}$ et ${F}$ .
Une définition équivalente est: ${E\Delta F=(E\setminus F)\cup(F\setminus E)}$ (c’est une union disjointe).

Exemple
Soit

{E=\{0,1,2,\ldots,29,30\}}

l’ensemble des entiers naturels compris entre

{0}

{30}

.
Soit

{F=\{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30\}}

l’ensemble des éléments de

{E}

qui sont multiples de

{3}

.
Soit

{G=\{{0, 7, 14, 21, 28}\}}

l’ensemble des éléments de

{E}

qui sont multiples de

{7}

${F\cup G=\{0,\! 3,\! 6,\! 7,\! 9,\! 12,\! 14,\! 15,\! 18,\! 21,\! 24,\! 27,\! 28,\! 30\}}$ est l’ensemble des éléments de ${E}$ qui sont multiples de ${3}$ ou de ${7}$ (ou des deux, bien sûr)
${F\cap G=\{0,21\}}$ est l’ensemble des éléments de ${E}$ qui sont multiples de ${3}$ et de ${7}$
${F\setminus G=\{3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27, 30\}}$ est l’ensemble des éléments de ${E}$ qui sont multiples de ${3}$ mais pas de ${7}$ .
${G\setminus F=\{7, 14, 28\}}$ est l’ensemble des éléments de ${E}$ qui sont multiples de ${7}$ mais pas de ${3}$ .
${F\Delta G=\{3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18, 24, 27, 28, 30\}}$ est l’ensemble des éléments de ${E}$ qui sont multiples de ${3}$ ou bien de ${7}$ (mais pas des deux à la fois, c’est-à-dire qui ne sont pas multiples de ${21}$ ).

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