Rudiments de logique

Plan du chapitre "Raisonner"

Propositions, démonstrations, etc.

Définition
Une proposition est un énoncé dont on doit pouvoir dire qu’il est « vrai » ou « faux ».
On notera

{V}

{F}

(ou encore

{1}

{0}

) les deux valeurs logiques possibles d’une proposition.

Exemples:

« l’entier ${2025}$ est un carré parfait » est une proposition vraie (car ${2015=45^2}$ );
« l’entier ${2027}$ est un carré parfait » est une proposition fausse (aucun carré ne se termine par ${7}$ );
« l’entier 2018 est somme de deux carrés » est une proposition vraie (en effet ${2018=13^2+43^2}$ );
« l’entier 2019 est une somme de deux carrés » est une proposition fausse (si ${2019}$ s’écrivait ${m^2+n^2}$ , raisonner suivant la parité de ${m}$ et ${n}$ ).

Définition
Certaines propositions sont déclarées vraies à priori: ce sont les axiomes.
Sinon la véracité (ou la fausseté) d’une proposition doit résulter d’une démonstration (d’une preuve).

Remarque: dans le cadre d’un cours de mathématiques, quand on énonce une proposition, c’est pour affirmer qu’elle est vraie (et qu’on va la démontrer)!

Définition
Un théorème est une proposition vraie particulièrement importante.
Un lemme est une proposition vraie, utile à la démonstration d’une proposition plus importante.
Un corollaire est une proposition vraie, conséquence immédiate d’une autre proposition vraie.
Une conjecture est une proposition qu’on pense généralement vraie, sans en avoir de preuve.

Exemples:

« l’axiome de récurrence » dans ${\mathbb{N}}$ , « l’axiome de la borne supérieure » dans ${\mathbb{R}}$ .
« le théorème de Pythagore », le « théorème de Rolle », « le théorème de Bolzano-Weierstrass ».
le « lemme des bergers », le « lemme de Gauss », le « lemme des noyaux ».
la « conjecture de Syracuse », la « conjecture de Goldbach ».
la « conjecture de Fermat » est devenue le « grand théorème de Fermat » en 1994.

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