Exercices corrigés
| Exercice 1. Montrer que l’égalité {AB-BA=I} est impossible dans {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}. |
| Exercice 2. Soient {A} et {B} deux matrices de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}. On suppose que pour tout {M} de {\mathcal{M}_ n(\mathbb{K})}, on a {\text{tr}(AM)=\text{tr}(BM)}. Montrer que les matrices {A} et {B} sont égales. |
| Exercice 3. Soit {f} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}. Montrer que : {\begin{array}{l}\exists\,!\,A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K}),\;\forall\,X\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K}),\\[9pts]\quad f(X)=\text{tr}(AX)\quad(\star)\end{array}} |