Applications linéaires en dim finie (2/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {E} et {F} deux {\mathbb{K}}-espaces vectoriels, {E} étant de dimension finie.
Soit {f} et {g} deux applications linéaires de {E} dans {F}.

  1. Comparer {\text{Im}(f+g)} et {\text{Im}\,f+\text{Im}\,g}.
    En déduire que {\text{rg}(f+g)\le\text{rg}(f)+\text{rg}(g)}.
  2. Montrer l’équivalence : {\begin{array}{l}\text{rg}(f+g)=rg(f)+\text{rg}(g)\\[6pts]\quad\iff\begin{cases}\text{Im}\,f\cap\text{Im}\,g=\{0\}\\ E=\text{Ker}\,f+\text{Ker}\,g\end{cases}\end{array}}

Exercice 2.
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension finie.

  1. Soit {F_1,F_2,\ldots,F_n} des sous-espaces de {E}.
    Rappeler l’équivalence : {\displaystyle\sum_{j=1}^n F_j} est directe {\Leftrightarrow\dim\displaystyle\sum_{j=1}^n F_j=\displaystyle\sum_{j=1}^n\dim F_j}.
  2. Soit {p_1,\ldots,p_n} des projecteurs de {E}.
    On suppose que : {\displaystyle\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}.
    Montrer que {E=\text{Im}\,p_1\oplus\text{Im}\,p_2\oplus\cdots\oplus\text{Im}\,p_n}.
  3. Prouver que pour tous indices distincts {i} et {j}, on a: {p_i\circ p_j=0}.

Exercice 3.
Soit {E,F,G} trois espaces vectoriels, {E} et {F} étant de dimension finie.
Soit {f} dans {{\mathcal L}(E,F)} et {g} dans {{\mathcal L}(F,G)}.

  1. Montrer que {\dim \text{Ker}\,g\circ f\le\dim\text{Ker}\,g+\dim\text{Ker}\,f}.
  2. Montrer les inégalités : {\begin{array}{rl}\text{rg}\,f\!+\!\text{rg}\,g\!-\!\dim F&\le \text{rg}(gf)\\\\&\le \inf(\text{rg}\,f,\text{rg}\,g)\end{array}}

Exercice 4.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie {n}.

  1. Soit {f} et {g} dans {{\mathcal L}(E)}, tels que {f\circ g=0}. Montrer : {\text{rg}(f)+\text{rg}(g)\le n}.
  2. Soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
    Montrer que : {\exists\,g\in{\mathcal L}(E)} tel que {f\circ g=0} et {\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=n}.
  3. Soit {f\in{\mathcal L}(E)}, avec {f\ne0} et {\text{rg}(f)\lt n}.
    Montrer qu’il existe {g\in{\mathcal L}(E)} tel que {\begin{cases}f\circ g=0,\;g\circ f\ne0\\\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=n\end{cases}}

Exercice 5.
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie {n}.
Soit {u} un endomorphisme de {E}, tel que {u^2=0}.

  1. On suppose qu’il existe {v} dans {{\mathcal L}(E)} tel que {v u+uv=\text{Id}}.
    Montrer que la restriction de {v} à {\text{Ker}\,u} est injective et que {\text{Ker}\,u=\text{Im}\,u}.
  2. On suppose réciproquement que {\text{Ker}\,u=\text{Im}\,u}.
    Soit {F} un supplémentaire de ce sous-espace dans {E}.
    Montrer que : {\forall x\in E,\;\exists!\,(y,z)\in F^2,\;x=y+u(z)}.
  3. Soit {v} l’application qui à {x} associe {z} dans l’écriture précédente.

    Montrer que {v\in\mathcal{L}(E)} et que {v\circ u+u\circ v=\text{Id}}.

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.