Pour {\rho>1}, soit {A_\rho=\left\{\sum_{n=1}^\infty\frac{\varepsilon_n}{\rho^n}: \varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}\right\}.}Montrer que {A_\rho} est compact.

Soit {E} de dimension finie sur {K=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, et {A_r=\left\{u\in\mathcal L(E):\operatorname{rg}u=r\right\}}, {0\le r\le\dim E}.

Déterminer si {A_r} est ouvert ou fermé, puis son intérieur et son adhérence.

1) Montrer que {f_{H,K}^2=-I} équivaut à {H^2+K\overline K=-I} et {HK+K\overline H=0}.

2) Montrer qu’au voisinage de {(iI,0)}, ces conditions équivalent à l’existence d’une unique matrice {B} telle que {f_{H,K}=f_{B,K}\circ f_{iI,0}\circ f_{B,K}^{-1}}.

1) Montrer que {Q} est dense dans {\mathbb{R}_+}.

2) Si {d=1}, montrer que {Q=\mathbb{Q}_+^\star}.

3) Pour tout {\varepsilon>0}, construire un tel {A} de densité au moins {1-\varepsilon} avec {Q\ne\mathbb{Q}_+^\star}.

a) Si {K} est borné, montrer qu’il est intersection de carrés fermés.

b) Si {K} est non borné et différent du plan, donner des exemples.

Montrer que deux droites contenues dans {K} sont parallèles.

c) Si {K} est non borné, montrer qu’il contient une demi-droite.

a) Montrer que {\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert}.

b) Si {\sum\limits|u_n-1|\lt \infty} pour une suite réelle, montrer que {\prod\limits_{k=0}^nu_k} converge. Soient maintenant {M_n} avec {\sum\limits\lVert M_n-I_d\rVert\lt \infty}.

Poser {B_n=M_0\cdots M_n}.

c) Montrer que {B_n} converge.

d) Que dire de {M_{\sigma(0)}\cdots M_{\sigma(n)}} pour une permutation {\sigma} de {\mathbb{N}} ?

e) L’ensemble {E} de toutes ces limites peut-il ne pas être fermé ?

f) Pour {k\ge1}, peut-on obtenir exactement {k} composantes connexes pour {E} ?

a) Si {[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i}, que dire de {\sum\limits_i\ell(I_i)} ?

b) Pour {\delta:[0,1]\to\mathbb{R}_+^\star}, montrer l’existence d’une subdivision {0=x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_p=1} et de points {t_j\in[x_{j-1},x_j]} tels que {x_j-x_{j-1}\le\delta(t_j)}.

c) Même question qu’en a) pour un recouvrement dénombrable {(I_n)_{n\ge1}}.

Soit {F} un fermé de {\mathbb{R}}.

Montrer qu’il existe {f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})} telle que {F=f^{-1}(\left\{0\right\})}.

a) Montrer que {C=I\cap S}.

b) Montrer que les {L_n(f)} sont continues et croissent avec {n}.

c) Montrer que {f\in I} si et seulement si {f} est le supremum ponctuel d’une suite de fonctions de {C}.

1) Pour {x\in A}, montrer que {z\mapsto N(x-z)} possède un minimum en un point {z_0}.

Poser {a=x-z_0}.

2) Si {N(a)=2}, montrer que {N(a-z)\ge2} pour toute racine {n}-ième de l’unité {z}, puis que {N(a-1)=2} et {N(a-5)=2}.

3) En déduire que {A} est isomorphe à {\mathbb{C}}.

1) Décrire topologiquement {T\cdot v} et son adhérence.

2) Déterminer les sous-espaces {W} tels que {W\cdot v=W} pour tout {v\in T}.

3) Dénombrer les chaînes strictes {W_0\subsetneq\cdots\subsetneq W_n} de tels sous-espaces.

Soit {E} un espace vectoriel normé.

Que dire d’une partie {A} à la fois ouverte et fermée ?

Trouver une partie {A} de {\mathbb{R}} telle que {A}, {\operatorname{int}A}, {\overline A}, {\operatorname{int}(\overline A)} et {\overline{\operatorname{int}A}} soient toutes distinctes.

1) Montrer que la boule unité fermée d’une norme sur {\mathbb{R}^d} est fermée, bornée, d’intérieur non vide, convexe et symétrique par rapport à {0}.

2) Réciproquement, soit {C\subset\mathbb{R}^d} non vide, fermée, bornée, d’intérieur non vide, convexe et symétrique par rapport à {0}.

Montrer que {C} est la boule unité fermée d’une norme.

1) Si {f} est continue, montrer que {\Gamma_f} est fermé dans {\mathbb{R}^2}.

La réciproque est-elle vraie ?

2) Si {\Gamma_f} est compact, montrer que {f} est continue.

Existe-t-il une fonction continue {f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}} telle que {f\circ f=\exp} ?

Déterminer les fonctions dérivables {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telles que {f(x)f(y)=f(x+yf(x))} pour tous {x,y\in\mathbb{R}}.

Déterminer les {f\in C^2([0,1],\mathbb{R})} telles que {f(x)=2(f(x/2)+f(1-x/2))} pour tout {x\in[0,1]}.

1) Construire {u\ge0}, concave, nulle sur {\partial D}, avec {Mu>0} dans {D^\circ}.

2) Pour {f:D^\circ\to\mathbb{R}_+}, montrer que l’ensemble {A} des fonctions {h\ge0}, concaves, nulles au bord, vérifiant {Mh\ge f}, est non vide.

3) Pour {u(x)=\inf_{h\in A}h(x)}, montrer {u\in A} et {Mu=f}.

1) Montrer que {O} est une réunion dénombrable d’intervalles ouverts bornés.

2) Construire {f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})} telle que {F=f^{-1}(\left\{0\right\})}.

** Montrer que tout convexe non borné d’un espace vectoriel réel de dimension finie contient une demi-droite. On pourra commencer par un convexe fermé.

a) Calculer {R_2,R_3,R_4}.

b) Montrer que {R_k} est le minimum de {E_k}.

c) Montrer que {4R_k^2} est entier.

d) Donner un équivalent de {R_k} lorsque {k\to\infty}.

a) Montrer que {E} est un intervalle ouvert.

b) Montrer que {f'} ne s’annule pas sur {E}.

c) Conclure.

Sur le cercle complexe de centre {0} et de rayon {\sqrt2}, montrer que tout point est limite de points {p_n+iq_n} avec {p_n,q_n} rationnels. Indication : utiliser des droites passant par {(-1,-1)}.

Construire une famille d’intervalles non réduits à un point, deux à deux disjoints, dont la réunion contient {\mathbb{Q}} et dont la somme des longueurs vaut {42}.

Soit {E} l’ensemble des polynômes non nuls à coefficients dans {\left\{-1,0,1\right\}} et {A} l’ensemble de leurs racines.

Déterminer l’adhérence de {A}.

Pour {A\subset\mathbb{R}^2}, son enveloppe convexe est l’ensemble des combinaisons finies {\sum\limits_i\lambda_ix_i}, {x_i\in A}, {\lambda_i\ge0}, {\sum\limits_i\lambda_i=1}. Supposons que deux points quelconques de {A} puissent être reliés par un chemin continu dans {A}.

Montrer {\operatorname{Conv}(A)=\bigcup_{a,b\in A}[a,b]}.