Déterminer la loi de {Y_n=X_n\cdots X_1}.

Si {S_n\sim\mathcal B(n,1/n)} et {P\sim\mathcal P(1)}, montrer que {d(S_n,P)\to0}.

Montrer que {\mathbb{P}(Y_n\ge1/2)\to2\ln2-1}.

Si {p_d} est la probabilité que {X^d+\sum\limits_{i=1}^{d-1}\varepsilon_iX^i+1} ait une racine rationnelle, montrer que {p_d\sim\sqrt{2/(\pi d)}}.

Montrer que {\mathbb{P}(L_X=L_Y=L_Z)\ge\mathbb{P}(L_X=L_Y)^2}.

Si {\mathbb{P}(B_E)>0}, montrer que {\mathbb{P}(A_i\mid B_E)\le x_i}.

Si {P(n)} compte ces listes, montrer {P(n)\le2^{n-1}}.

Exprimer {P(N_k\ge j)} comme un quotient de nombres de partitions.

b) Donner sa fonction génératrice.

c) Donner un équivalent de {\mathbb E(N)} lorsque {n\to\infty}.

d) Donner un équivalent de {V(N)}.

b) Calculer sa loi.

Pour {r\in\mathbb{Q}}, calculer la probabilité {u_n(r)} qu’ils soient distincts et que la droite qui les joint ait pour pente {r}.

Donner un équivalent.

Montrer {p_n=O(\ln n/n^2)}.

b) Déterminer la loi de {X_n}.

c) Calculer {P(T_n)}.

d) Pour des indices tous distincts, calculer {P(T_{n_1}\cap\cdots\cap T_{n_p}\cap T_{m_1}^c\cap\cdots\cap T_{m_q}^c)}.

b) Donner un équivalent de {p_n}.

b) Calculer la probabilité qu’elle soit inversible et diagonalisable sur {\mathbb{R}}.

Définir {F(\overline k)=\overline k+X_k}.

Calculer la probabilité que {F} soit bijective.

Montrer qu’il existe {\varepsilon_i\in\left\{-1,1\right\}} tels que {\lVert \sum\limits_{i=1}^n\varepsilon_iv_i\rVert\le\sqrt n}.

Montrer qu’elle ne dépend pas de la configuration fixée des {A_i}, puis donner une expression sommatoire.

2) Calculer l’espérance du temps de sortie.

Montrer {\mathbb E(S_m)(n)=n+n(n-1)P(|X_1-X_2|\le m)}.

Montrer {s_2(n)\le3s_1(n)}.

Étudier l’existence et calculer, le cas échéant, les limites de leurs probabilités.

Calculer sa limite.

Déterminer les {p} pour lesquels cette technique permet, en moyenne, d’effectuer au moins {40} tests de moins qu’en testant tout le monde individuellement.

Montrer que {\mathbb E(T_N)=NH_N}, où {H_N=\sum\limits_{k=1}^N1/k}.

Calculer la probabilité que {M} soit inversible.

Déterminer les lois possibles pour que {X+Y} soit uniforme sur {\left\{0,\ldots,n\right\}}.

2) Même question pour {p,q\ge1} quelconques.

Déterminer celles qui sont indépendantes de toutes les variables de {\mathcal X}.

Quelle est l’espérance du nombre de tentatives nécessaires ?

Déterminer la loi de son état à l’étape {n} et sa limite lorsque {n\to\infty}.

Calculer la probabilité {\pi_k} que le jeu s’arrête après le rang {k}, puis montrer que {\pi_k\to0}.

Poser {T_0=0} et {T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))}.

Déterminer {\mathbb E(T_n)}.

Noter {X_k} le nombre de pièces restant après {k} étapes.

Calculer les fonctions génératrices de {X_2}, puis de {X_k}.

Pour {T=\inf\left\{k:X_k=0\right\}}, calculer {\mathbb E(T)} lorsque {N=4}.

Montrer {\mathbb E(|X-Y|)\ge \mathbb E(|X|)}.

Étudier la probabilité {p_n} d’un nombre impair de piles.

Pour des variables indépendantes uniformes sur {\left\{-1,1\right\}} et {S_n=X_1+\cdots+X_n}, montrer {\mathbb{P}(S_n\ge\lambda)\le e^{-\lambda^2/(2n)}} pour {\lambda>0}.

Donner une interprétation probabiliste.

Calculer la probabilité d’extinction.

Montrer que, pour tout {k\in\mathbb{N}}, {\mathbb{P}(X_n=k)\to\mathbb{P}(Y=k)}.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur {(a_n)} pour que {p\ne0}.

Montrer que {(Y_n)} est transiente.

Montrer que {(S_n)} est transiente si et seulement si {p\ne1/2}.

Montrer que {F(x)=px+(1-p)xF(x)^2}.

Interpréter cette définition.