Montrer que {\int_{\mathbb{R}}f(x-t)g_y(t)\,dt\to f(x)} quand {y\to0^+}, puis que cette convergence est uniforme en {x}.

Déterminer {\sup_{\varphi\in E}\int_{\mathbb{R}}f\varphi'}.

Déterminer {\lim_{n\to\infty}\int_{-r}^r\sin(nt)/\sin t\,dt}.

Calculer les limites de {(\int_0^1f(x)^p\,dx)^{1/p}} lorsque a) {p\to+\infty} ; b) {p\to0^+}.

Montrer que {I_f} est un intervalle et construire des exemples donnant {]a,b[}, {]0,b[} ou {]b,+\infty[} pour {0\lt a\lt b}.

Montrer que {g} est intégrable sur chacune des deux demi-droites et exprimer leur somme d’intégrales en fonction de {\int_{\mathbb{R}}f}.

Montrer que {f(x)\to0} lorsque {x\to+\infty}.

Calculer {\lim_{n\to\infty}\lim_{a\uparrow1}I_n(a)} et {\lim_{a\uparrow1}\lim_{n\to\infty}I_n(a)}.

Justifier et calculer {I=\int_0^\infty(f(bt)-f(at))\,dt/t}.

Poser {A_tf(x)=txf(x)+f'(x)} et {A_t^\starf(x)=txf(x)-f'(x)}.

Montrer que {\int_{\mathbb{R}}A_t^\star(A_tf)(x)f(x)dx\ge0}.

Montrer que {f'\in L^2} et {\lVert f'\rVert_2^2\le\lVert f\rVert_2\lVert f''\rVert_2}.

Montrer que {\int_0^\infty g(x)^2/x^2\,dx} converge.

Montrer que l’équation possède une solution non bornée.

Montrer que {Q\ge0} sur {\mathbb{R}} implique {P\ge0}.