1) Si {\det(f_i(x_j))=0} pour tout {(x_1,\ldots,x_n)\in X^n}, montrer que les {f_i} sont liées.

2) Si {g_1,\ldots,g_n} vérifient {\det(f_i(x_j))=\det(g_i(x_j))} pour tout choix des points, montrer que les deux familles engendrent le même espace, ou qu’elles sont toutes deux liées.

1) Montrer que {CA-DB=I_n} et {DA+CB=0}.

2) Montrer que {\det(AC)\ge0}.

Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, soit {P_\sigma} sa matrice de permutation complexe.

Montrer que deux permutations sont conjuguées si et seulement si leurs matrices sont semblables.

1) Si {\tau} est une transposition, comparer les nombres de cycles disjoints de {\sigma} et {\sigma\tau}.

2) Pour une permutation uniforme de {\mathfrak S_n} et deux éléments distincts {i,j}, calculer la probabilité qu’ils soient dans le même cycle.

Pour {\sigma\in S_n}, soit {P_\sigma} sa matrice de permutation sur {\mathbb{C}^n}.

Montrer que {\sigma,\sigma'} sont conjuguées dans {S_n} si et seulement si {P_\sigma,P_{\sigma'}} sont semblables.

Déterminer le nombre moyen de {2}-cycles, de {3}-cycles et de {p}-cycles d’une permutation uniforme de {\left\{1,\ldots,n\right\}}.

1) Si {M} est inversible, combien de coefficients faut-il modifier au minimum pour la rendre singulière ?

2) Si {M} est singulière, combien faut-il en modifier au minimum pour la rendre inversible ?

1) Calculer {\operatorname{tr}(P_\sigma^k)} en fonction des {n_r}.

2) En déduire que deux permutations sont conjuguées si et seulement si leurs matrices sont semblables.

a) On dit que {\sigma\in\mathfrak S_{n+1}} est {I}-adaptée si {\sigma(i),\sigma(i+1)} sont consécutifs pour tout {i\in I}.

Dénombrer ces permutations en fonction de {|I|,c(I)}.

b) Dénombrer les {I} de cardinal {p} ayant {c} composantes.

[MPI] Pour {O\in O_n(\mathbb{R})}, calculer {|\det\psi_O|}, où {\psi_O:S_n(\mathbb{R})\to S_n(\mathbb{R})} est définie par {\psi_O(A)=O^{\mathsf T}AO}.

a) Pour {A\in S_n(\mathbb{R})}, montrer qu’elle est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux initiaux {\det(a_{ij})_{1\le i,j\le k}} sont strictement positifs.

b) Pour {t>0}, calculer le déterminant de {A_k=(t^{|i-j|})_{1\le i,j\le k}}.

c) Montrer que {(1/(1+|i-j|))_{1\le i,j\le n}} est symétrique définie positive.

a) Montrer que {p_n} est un polynôme ; donner degré, coefficient dominant et parité.

b) Calculer {\int_{\mathbb{R}}p_mp_ne^{-x^2/2}}.

c) Calculer {\int_{\mathbb{R}^n}\prod\limits_{i\lt j}(x_j-x_i)^2e^{-\sum\limits_kx_k^2/2}\,dx_1\cdots dx_n}. Indication : considérer {\det(p_{i-1}(x_j))}.

[MPI] Soient des fonctions réelles {(f_n)} de carré intégrable sur {\mathbb{R}}, avec {\int_{\mathbb{R}}f_if_j=\delta_{ij}}. Pour {N\ge1}, posons {K_N(x,y)=\sum\limits_{k=0}^{N-1}f_k(x)f_k(y)} et {\varphi_p(x_1,\ldots,x_p)=\det(K_N(x_i,x_j))}.

Calculer {\int_{\mathbb{R}^p}\varphi_p}.

Soit {A,B,C,D\in M_n(\mathbb{C})}, avec {AB=BA}. Montrer {\det\begin{pmatrix}A&B\\[4pt]C&D\end{pmatrix}=\det(DA-CB)}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} telle que {|a_{ii}|\geq2\sum\limits_{j\ne i}|a_{ij}|} pour tout {i}.

Montrer {|\det A|\geq(\min_i|a_{ii}|/2)^n}.

Soit {n} pair, {A} réelle antisymétrique et {C} la matrice dont toutes les entrées valent {1}.

Montrer {\det(A+\lambda C)=\det A} pour tout réel {\lambda}.

Soient {P=aX+b}, {Q=cX+d} et {\Phi\in\mathcal L(\mathbb{R}_n[X])} défini par {\Phi(X^k)=P^kQ^{n-k}} pour {0\le k\le n}.

Calculer {\det\Phi}.

Pour tout {n\ge1}, construire {M\in M_n(\mathbb{R})} telle que toute permutation de ses {n^2} coefficients donne une matrice inversible.

Une application {f} entre espaces complexes est antilinéaire si {f(x+\lambda y)=f(x)+\overline\lambda f(y)}.

Pour quels {n} existe-t-il une application antilinéaire sur {\mathbb{C}^n} vérifiant {f^2=-I} ?

Soit {E\subset\mathbb{R}^n} fermé borné contenant la boule unité, et {M\in M_n(\mathbb{R})} avec {M(E)\subset E}.

Montrer {|\det M|\le1}.

Calculer le déterminant de {A=(1/\min(i,j))_{1\le i,j\le n}}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} telle que {\det(A+H)=\det A+\det H} pour toute {H}.

Que peut-on dire de {A} ?

a) Pour des réels distincts {\alpha_1,\ldots,\alpha_p} et des coefficients non tous nuls {c_i}, montrer que {\sum\limits_ic_ie^{\alpha_ix}} a au plus {p-1} zéros.

b) Si {\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_p} et {\beta_1\lt \cdots\lt \beta_p}, montrer {\det(e^{\alpha_i\beta_j})>0}.

Pour {A,B\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, montrer {(\det(A+B))^{1/n}\ge(\det A)^{1/n}+(\det B)^{1/n}}.

a) Montrer que le supremum est atteint.

b) Montrer que ce supremum est atteint par une matrice à coefficients dans {\left\{0,1\right\}} et de déterminant positif.