a) Montrer qu’il s’agit d’une norme.

b) Montrer que {|||A|||=\sup_{\lVert X\rVert,\lVert Y\rVert\le1}|\langle AX,Y\rangle|}.

c) Pour {A=(1/(i+j+1))_{0\le i,j\le n}}, interpréter {\langle AX,Y\rangle} par une intégrale faisant intervenir {P(t)=\sum\limits_{k=0}^nx_ke^{ikt}} et {Q(t)=\sum\limits_{k=0}^ny_ke^{ikt}}, {t\in[0,2\pi]}.

d) En déduire {|||A|||\le2\pi}.

e) Montrer même {|||A|||\le\pi}.

Trouver {f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}} continue hors de l’origine, discontinue à l’origine, dont la restriction à toute droite passant par l’origine soit continue.

a) Soit {f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}} antisymétrique et {A=(a_{ij})} une grille telle que la somme de {f} le long des quatre côtés de chaque petite case soit nulle.

Montrer que la somme de {f} le long du bord extérieur est nulle.

b) Soit une matrice de taille {n+2}, à coefficients dans {\left\{1,2,3\right\}}, dont le bord supérieur et le bord gauche valent {1}, le bord droit hors coins vaut {3} et le bord inférieur hors coin gauche vaut {2}.

Montrer qu’au moins une petite case comporte trois valeurs différentes.

c) Montrer qu’il existe {\eta>0} tel que {\lVert x-y\rVert_\infty\le\eta} implique {\lVert r(x)-r(y)\rVert\le1/10}.

d) Pour {2/(n-1)\le\eta}, poser {v_{ij}=(1-2(i-1)/(n-1),1-2(j-1)/(n-1))}.

Montrer que les quatre sommets de chaque petite case sont contenus dans une boule de rayon {1/10}.

e) En utilisant une fonction bien choisie {C\to\left\{1,2,3\right\}}, obtenir une contradiction.

f) En déduire que toute application continue {D\to D} possède un point fixe.

a) Pour {x\in A}, montrer qu’il existe {z_0\in\mathbb{C}} minimisant {\lVert z-x\rVert}.

b) Si {a=z_0-x} et {\lVert a\rVert=2}, montrer que {\lVert a-e^{2ik\pi/n}\rVert\ge2} pour tous {n\ge1}, {k\in\mathbb{N}}.

c) En déduire {\lVert a-1\rVert=2}.

d) En déduire {A=\mathbb{C}}.

e) Retrouver ce résultat à l’aide de polynômes annulateurs. Supposer maintenant {K=\mathbb{R}}.

f) A-t-on nécessairement {A=\mathbb{R}} ?

g) On admet une algèbre {H} de base {(1,i,j,k)}, où {i,j,k} anticommutent deux à deux et leurs carrés valent {-1}. La conjugaison fixe {\mathbb{R}} et change le signe des trois autres coordonnées.

Montrer que {N(q)=\sqrt{q\overline q}} est une norme multiplicative.

h) Montrer que {A} est isomorphe à {\mathbb{R}}, {\mathbb{C}} ou {H}.

1) Exprimer les normes subordonnées de {A\in M_n(\mathbb{R})} pour les normes vectorielles infinie et {1}.

2) Si les deux normes subordonnées sont au plus {1}, montrer que {\lVert A\rVert_{2,\mathrm{op}}\le1}.

3) Pour {A} inversible, montrer que sa distance en norme subordonnée {2} à l’ensemble des matrices singulières vaut {\sqrt{\lambda_1}}, où {\lambda_1} est la plus petite valeur propre de {AA^{\mathsf T}}.

1) Montrer que {V(B)} est un sous-espace contenant les fonctions monotones et les fonctions lipschitziennes.

2) Donner une fonction continue qui n’appartient pas à {V(B)}.

3) Montrer que {V(B)} est l’ensemble des différences de deux fonctions croissantes.

4) Montrer que {f:[0,1]\to\mathbb{R}} est lipschitzienne si et seulement si {f\circ g\in V(B)} pour toute {g:[0,1]\to[0,1]} dans {V(B)}.

Soit {q\in\mathbb{R}^\star} et {a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^\star} continue, avec {0\lt m\lt M} et {m\le|a(t)|\le M}. On suppose {m>2} ou {M\lt 1/2}.

Montrer qu’il existe une unique fonction {F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^\star} continue et bornée telle que {F(t)=1+F(qt)/a(t)}.

1) Soient {f,g} continues sur {\mathbb{R}_+} et {K>0}, avec {f(t)\le g(t)+K\int_0^tf(u)\,du}.

Montrer {f(t)\le g(t)+K\int_0^te^{K(t-u)}g(u)\,du}.

2) Soient {M'=AM}, {N'=BN}, {M(0)=N(0)=I_n}, avec {A,B} continues.

Si {\lVert A(t)\rVert\le K} et {\lVert A(t)-B(t)\rVert\le\eta} sur {[0,T]} pour une norme subordonnée, montrer {\lVert M(t)-N(t)\rVert\le e^{Kt}(e^{\eta t}-1)}.

a) Montrer que deux normes ayant même sphère unité sont égales.

b) Pour {f,g\in C^0([0,1],\mathbb{R})}, caractériser le fait que {(x,y)\mapsto\lVert xf+yg\rVert_\infty} soit une norme sur {\mathbb{R}^2}.

c) Soit un espace euclidien {E}, de norme {\lVert \cdot\rVert}, et une autre norme {p}. Pour leurs sphères {S,S_p}, posons {d(x)=\sup_{y\in S_p}|\langle x,y\rangle|} sur {S} et {k=\sup_{y\in S_p}\lVert y\rVert}.

Montrer {d(x)>0}, {0\lt k\lt \infty} et que {d} est {k}-lipschitzienne.

d) Pour {B=\left\{z:p(z)\le1\right\}} et {D_x=\left\{z:|\langle x,z\rangle|\le d(x)\right\}}, montrer {B=\bigcap_{x\in S}D_x}.

a) Si {m>2} ou {M\lt 1/2}, montrer qu’il existe une unique solution bornée.

b) Montrer que les solutions bornées ne s’annulent pas.

Montrer qu’il existe {c>0} tel que, pour tous {v_1,\ldots,v_n\in\mathbb{R}^n}, {|\det(v_1,\ldots,v_n)|\le c\prod\limits_{i=1}^n\lVert v_i\rVert_\infty}.

Soient {E,F} normés réels et {\psi:E\to F} additive, bornée sur la boule unité ouverte.

Montrer qu’elle est linéaire et continue.

a) Pour un endomorphisme continu {\varphi}, montrer {\sup_{x\ne0}\lVert \varphi(x)\rVert/\lVert x\rVert\lt \infty}.

b) Si deux endomorphismes continus vérifient {uv-vu=I}, montrer que cela impose {E=0}.

Sur le disque unité fermé {D}, posons {\lVert P\rVert=\sup_D|P|}. Pour {P\in\mathbb{C}[X]}, définissons {P_0=P}, {P_{n+1}=(P_n')^2}.

Montrer qu’une norme initiale suffisamment petite entraîne {\lVert P_n\rVert\to0}.

Soit {f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}} continue.

Montrer qu’il existe des fonctions {\varphi_n\in C^\infty(\mathbb{R}^N)} et des points {x_n\to0} tels que {f-\varphi_n} ait un minimum local en {x_n}.