Montrer que, pour tout {\delta>0}, {\Phi(B\cap E)} possède un {\delta}-réseau fini constitué d’images de fonctions de {B\cap E}.

i) Montrer que {\varphi(E_{ii})} est un projecteur de rang {1}.

ii) Déterminer le rang de {\varphi(E_{ij})}.

iii) Montrer que {K^n=\bigoplus_{i=1}^n\operatorname{Im}\varphi(E_{i1})}.

b) Dans le cas général, montrer qu’il existe {p\ge0}, {k\ge1} tels que {f^{p+k}=f^p}.

Déterminer l’espace tangent à {G} en {p\in G}.

Considérons deux drapeaux {(F_i)} et {(G_j)}.

Montrer qu’on peut imposer à {U} de n’avoir que {1} comme valeur propre.

Déterminer ces points.

Déterminer ceux de rang {1}.

Est-ce un automorphisme ?

Quelles sont les valeurs possibles de {\dim\ker(BA)} ?

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe {u\in\mathcal L(E)} tel que {\operatorname{Im}u=G} et {\ker u=F}.

2) {f^2=0} et il existe {g\in\mathcal L(E)} tel que {f\circ g+g\circ f=\operatorname{id}_E}.

Montrer qu’il existe une base de {\mathcal L(E)} formée de projecteurs.

Le résultat vaut-il sur {\mathbb{R}} ?

Traiter le cas réel {n=2}.

Montrer que {f'\in E} pour tout {f\in E}.

2) Montrer que {u=pq+(I-p)(I-q)} est inversible et {p=uqu^{-1}}.

2) Si {W_n=0} et {W_{n-1}(f_1,\ldots,f_{n-1})} ne s’annule pas, montrer que {f_n} est combinaison linéaire à coefficients constants des précédentes. On admet la dimension {n-1} de l’espace des solutions d’une équation linéaire homogène d’ordre {n-1} à coefficients continus.

Quelle que soit la vache retirée, les autres peuvent être partagées en deux groupes de {n} vaches de poids totaux égaux.

Montrer que tous les poids sont égaux.