Équations différentielles — Polytechnique

Exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « équations différentielles », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★★★) Coefficients constants ; Cayley-Hamilton ; Endomorphismes

Pour

{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}

dérivable, posons

{E_f=\operatorname{Vect}\left\{x\mapsto f(x+a):a\in\mathbb{R}\right\}}

Montrer que ${E_f}$ est de dimension finie si et seulement si ${f}$ satisfait une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants.

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Exercice 2. (★★★) Sous-espaces stables ; Matrices définies positives ; Diagonalisation

Soient

{J=\begin{pmatrix}0&I_n\\[4pt]-I_n&0\end{pmatrix}}

{S\in\mathcal S_{2n}(\mathbb{R})}

définie positive.

1) Montrer que toutes les solutions de

{X'=JSX}

sont bornées.

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2) Montrer que

{JS}

est semblable sur

{\mathbb{C}}

{\operatorname{diag}(i\lambda_1,-i\lambda_1,\ldots,i\lambda_n,-i\lambda_n)}

, avec les

{\lambda_j}

réels.

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Exercice 3. (★★★★★) Orthogonalité ; Intégration par parties ; Second ordre

Pour

{n\ge0}

, soit

{(E_n):-y''+x^2y=(2n+1)y}

sur

{\mathbb{R}}

. Posons

{Af=f'+xf}

{Bf=-f'+xf}

1) Donner la dimension de l’espace des solutions de

{(E_n)}

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2) Résoudre

{(E_0)}

à l’aide de

{A,B}

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3) Déterminer ses solutions de carré intégrable.

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4) Pour

{f_0=e^{-x^2/2}}

, montrer que

{f_n=B^nf_0}

satisfait

{(E_n)}

, en calculant

{AB^n-B^nA}

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5) Montrer que les solutions de carré intégrable de

{(E_n)}

sont les multiples de

{f_n}

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6) Montrer l’orthogonalité de la famille

{(f_n)}

dans

{L^2(\mathbb{R})}

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Exercice 4. (★★★★) Intégration sur un intervalle quelconque ; Dérivation sous l'intégrale ; Intégration par parties

a) Calculer

{\int_0^\infty e^{-t}\sin(xt)dt}

pour

{x\in\mathbb{R}}

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b) Poser

{F(x)=\int_0^\infty\sin(xt)/(t(1+t^2))dt}

Montrer que ${F}$ est ${C^2}$ sur ${]0,\infty[}$ et ${F''(x)=F(x)-\int_0^\infty\sin t/t\,dt}$ .

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c) Simplifier

{F}

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Exercice 5. (★★★) Limites des solutions ; Variation de la constante ; Premier ordre

Soient

{f,g:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+^\star}

de classe

{C^1}

{a\in[0,1]}

a) Montrer l’existence d’une unique solution

{C^1}

{x_a'=f-(f+g)x_a}

{x_a(0)=a}

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b) Si

{f,g}

ont des limites finies strictement positives, montrer que

{x_a\to0}

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c) Choisir

{f,g}

pour que

{x_a}

n’ait pas de limite.

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d) Si l’une de

{f,g}

n’est pas intégrable sur

{\mathbb{R}_+}

, montrer que

{x_1-x_0\to0}

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Exercice 6. (★★★★) Problème de Cauchy ; Théorème de Weierstrass ; Variation des constantes

Soient

{v:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}

continue à support compact et

{\omega>0}

. On considère

{y''+\omega^2y=v(t)}

, d’ensemble de solutions

{S_E}

a) Pour tout

{(a,b)}

, montrer qu’il existe une unique solution

{f^+_{a,b}}

égale à

{a\cos\omega t+b\sin\omega t}

près de

{+\infty}

, et une unique

{f^-_{a,b}}

ayant cette propriété près de

{-\infty}

Montrer que ces deux familles décrivent tout ${S_E}$ .

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b) Poser

{c(\omega)=\int_{\mathbb{R}}v(t)\cos\omega t\,dt}

{s(\omega)=\int_{\mathbb{R}}v(t)\sin\omega t\,dt}

Déterminer ${S_\omega}$ défini par ${f^-_{a,b}=f^+_{S_\omega(a,b)}}$ .

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c) Si

{S_\omega=\mathrm{id}}

pour tout

{\omega>0}

, montrer

{v=0}

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Exercice 7. (★★★★) Zéros des solutions ; Problème de Cauchy ; Intégration par parties

Soient

{q_1,q_2}

continues sur

{\mathbb{R}_+}

avec

{q_1\le q_2}

a) Pour des solutions respectives

{y_1,y_2}

{y''+q_i y=0}

, et deux zéros

{\alpha\lt \beta}

{y_1}

, montrer que

{y_2}

s’annule sur

{[\alpha,\beta]}

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b) Si

{0\lt m\le q\le M}

, montrer que les zéros d’une solution non nulle forment une suite strictement croissante

{(t_n)}

et que

{\pi/\sqrt M\le t_{n+1}-t_n\le\pi/\sqrt m}

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Exercice 8. (★★★) Équations du premier ordre ; Dérivation sous le signe intégral ; Intégration par parties

Fixons

{t>0}

et posons, pour

{p\in\mathbb{R}}

{F_c(p)=\int_0^\infty e^{-tx^2}\cos(px^2)\,dx,\qquad F_s(p)=\int_0^\infty e^{-tx^2}\sin(px^2)\,dx,\qquad Z=F_c+iF_s.}

1) Montrer que

{Z}

est

{C^\infty}

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2) Déterminer une équation différentielle du premier ordre satisfaite par

{Z}

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3) En déduire

{F_c,F_s}

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Exercice 9. (★★★★) Valeurs propres ; Systèmes à coefficients constants ; Trace

Soient

{a_{ij}>0}

{f_1,\ldots,f_n}

dérivables sur

{\mathbb{R}_+}

, tendant vers

{0}

{+\infty}

, telles que

{f_i'=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}f_j}

Montrer que la famille des fonctions ${(f_1,\ldots,f_n)}$ est liée.

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Exercice 10. (★★★★) Intégration par parties ; Problème de Cauchy ; Positivité et majorations

1) Si

{f\in C^1([0,\pi])}

{f(0)=f(\pi)=0}

, montrer que

{\int_0^\pi f^2\le(\pi^2/8)\int_0^\pi(f')^2}

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2) Si

{f,q}

sont continues sur

{[0,\pi]}

{q(x)\lt 8/\pi^2}

, montrer que, pour tous

{a,b\in\mathbb{R}}

, il existe une unique

{y\in C^2([0,\pi])}

telle que

{y''+qy=f}

{y(0)=a}

{y(\pi)=b}

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Exercice 11. (★★★) Composition ; Équations du second ordre ; Intégrabilité

Sur

{C^\infty(\mathbb{R})}

, posons

{Hf=x^2f-f''}

{A_-f=-f'+xf}

{A_+f=f'+xf}

1) Calculer

{A_-A_+}

{A_+A_-}

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2) Montrer qu’il existe une unique fonction

{\varphi_0}

de carré intégrable telle que

{H\varphi_0=\varphi_0}

{\varphi_0(0)=1}

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3) Pour

{\varphi_n=A_-^n\varphi_0}

, montrer

{H\varphi_n=(2n+1)\varphi_n}

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4) Montrer que

{\varphi_n=P_n\varphi_0}

avec

{P_n}

polynomiale.

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Exercice 12. (★★★★★) Problème de Cauchy ; Changement de fonction inconnue ; Équivalents

** Soit

{y\in C^2(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})\setminus\left\{0\right\}}

telle que

{y''+e^ty=0}

a) Montrer que ses zéros sont isolés.

b) Les ranger en une suite strictement croissante ${(t_n)}$ tendant vers l’infini.

c) Donner un équivalent de ${t_n}$ .

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PSI

Exercice 1. (★★★) équations du second ordre ; problème de Cauchy ; intégrabilité

Montrer que l’équation

{y''+t\,y/(1+t^3)=0}

admet une solution non bornée.

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Exercice 2. (★★★) espace des solutions ; polynôme caractéristique ; problème de Cauchy

Soit

{\varphi}

continue

{2\pi}

-périodique, et

{\mathrm{Sol}}

l’espace des solutions complexes de

{y''+\varphi y=0}

1) Construire

{y_1,y_2}

de données initiales

{(1,0)}

{(0,1)}

, et montrer qu’elles forment une base de

{\mathrm{Sol}}

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2) Étudier

{\Psi(y)(t)=y(t+2\pi)}

sur cet espace.

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3) Montrer que l’existence de

{z\ne0}

vérifiant

{z(t+2\pi)=\lambda z(t)}

équivaut à l’annulation du polynôme

{X^2-(y_1(2\pi)+y'_2(2\pi))X -y'_1(2\pi)y_2(2\pi)+y_1(2\pi)y'_2(2\pi).}

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4) Montrer que

{\lambda\ne0}

{\det\Psi=1}

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Exercice 3. (★★★) variation de la constante ; intégration par parties ; équivalents

Soit

{f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}

tendant vers zéro en

{+\infty}

a) Montrer que toute solution de

{y'+y=f}

tend vers zéro.

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b) Si

{f(t)\sim t^{-\alpha}}

avec

{\alpha>0}

, donner un équivalent de toute solution.

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PC

Exercice 1. (★★★) Dérivation et composition ; Second ordre à coefficients constants

Déterminer les

{f\in C^1(\mathbb{R}_+^\star,\mathbb{R})}

telles que

{f(1/x)=f'(x)}

pour tout

{x>0}

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Exercice 2. (★★★★) Premier ordre ; Solutions homogènes ; Fonctions bornées

Déterminer les entiers

{n\geq1}

tels que, pour toute

{f\in C^n(\mathbb{R}_+)}

, la bornitude de

{f^{(n)}+f}

implique celle de

{f}

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Exercice 3. (★★★) Règle de la chaîne ; Premier ordre

Soit

{f_0\in C^1(\mathbb{R})}

{v>0}

{\alpha\in\mathbb{R}}

Déterminer les solutions ${C^1}$ sur ${\mathbb{R}^2}$ de ${f_t+vf_x=\alpha(1-f)}$ , avec ${f(0,x)=f_0(x)}$ .

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Exercice 4. (★★★★) solutions développables en série entière ; raccordement de solutions ; équations linéaires du second ordre

1) Pour

{\lambda\in\mathbb{R}}

, existe-t-il une solution développable en série entière de

{xy''+(1-x)y'-\lambda y=0}

sur

{\mathbb{R}}

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2) Pour

{\lambda=2}

, expliciter les solutions sur

{\mathbb{R}_+^\star}

{\mathbb{R}_-^\star}

, en admettant que chaque espace de solutions a dimension deux.

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3) Déterminer les solutions sur

{\mathbb{R}}

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Exercice 5. (★★★★) limites de fonctions ; équations linéaires du premier ordre ; équivalents

Soient

{\lambda>0}

{x,y\in C^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})}

avec

{x(0),y(0)>0}

{x'=-xy}

{y'=xy-\lambda y}

Montrer que ${x,y}$ ont des limites et préciser si elles sont nulles.

Montrer qu’il existe ${K,\mu>0}$ tels que ${y(t)\sim Ke^{-\mu t}}$ .

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Exercice 6. (★★★★) solutions homogènes ; identification des coefficients ; rayon de convergence

Déterminer les solutions sur

{\mathbb{R}}

{xy''+y'-4xy=0}

. On pourra chercher les solutions développables en série entière.

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